Rada OI požádala o upřesnění, co z tohoto předmětu je vhodné zkoušet u státnic. Předpokládám, že je to zajímavé i pro studenty, a po různých zkušenostech se spolehlivostí šíření informací to pro jistotu dávám i sem.
Okruhy oficiálně: Vlastnosti celých čísel, Euklidův algoritmus. Binární relace. Matematická indukce, rekurzivní vztahy.
Témata zkoušená u státnic:
Dělitelnost: definice, základní vlastnosti (tranzitivita a podobně), gcd(a,b).
Celá čísla modulo n: Co je kongruence, jak se tam počítá, co je inverzní číslo a kdy existuje.
Euklidův algoritmus: Jak funguje, teoreticky (přechod ke zbytku po
dělení) i prakticky, jak se pozná kdy končí. Jak funguje jeho rozšířená
verze, která umí poskytnout Bezoutovu identitu (prakticky).
Bezoutova identita: poskytne gcd jako lineární kombinaci čísel
a,b. K čemu se dá použít: řešení diofantických rovnic, hledání
inverzního čísla ve světě modulo.
Binární relace: Co znamená prakticky a jak se definuje matematicky. Čtyři základní vlastnosti (reflexivita, symetrie, antisymetrie, tranzitivita): Jaký mají význam, umět ilustrovat na grafu relace, popřípadě (alespoň intuitivně) rozpoznat u nějaké relace ze života.
Indukce: Je třeba rozumět principu, vnímat různé verze (slabá, silná), umět případně ilustrovat na nějakém jednoduchém důkazu.
Rekurentní rovnice: Základní vlastnosti homogenních lineárních rekurentních rovnic (jejich množina řešení tvoří vektorový prostor dimenze rovné řádu rovnice, takže řešení lze generovat pomocí vhodné báze), jak najít vhodnou bázi (pomocí kořenů charakteristického polynomu).