Bude trochu netradiční, sestavit si ji můžete sami pomocí skripta.
1.[14 bd] Příklad na rozpoznávání vlastností konkrétní relace.
Dejte si pozor na správný zápis důkazu/vyvrácení platnosti té či oné
vlastnosti.
Viz kapitola 4b, cvičení 5,6,7,8,9,10.
2.[10 bd] Příklad na diofantickou rovnici v některém z jejích
převleků, typicky rovnice v nějakém prostoru Zn,
kongruenční rovnice modulo a podobně, popřípadě otázka na inverzní (a
opačné) číslo.
Viz kapitola 3, cvičení 3a.1, 3b.1, 3c.2, také 2b.1.
3.[14 bd] Důkaz matematickou indukcí. Bude méně triviální než
na semestrální písemce.
Viz kapitola 7, cvičení 7a.4, 7a.9, 7b.6.
4.[15 bd] Příklad na rekurentní rovnici, v typickém případě
druhého až třetího řádu a s pravou stranou, která je kombinací několika
kvazipolynomů. Určitě budou počáteční podmínky. Rovnice často nebude zadaná
předpisově a bude nejprve třeba si ji poupravit.
Viz kapitola 10b, cvičení 10b.3.
5.[12 bd] Vyšetření vlastnosti daného zobrazení (určení, zda
platí, a důkaz správnosti odpovědí).
Viz cvičení 8b.3.
6.[5 bd] Důkaz (snadný) nějaké obecné vlastnosti z oblasti dělitelnosti a počítání modulo. Obtížnost viz první semestrální písemka, pro inspiraci možno také z kapitol cvičení 1a.4, 1a.7, 1a.9, 2a.6, 2a.7.
7.[15 bd] Důkaz (náročnější) nějaké obecné vlastnosti. Témata v typickém
případě tahám od dělitelnosti, kongruence, relací, zobrazení, teorie rovnic.
Nepředpokládá se znalost nějakých specifických triků, ale je třeba být
kamarád se základními pojmy, umět s nimi pracovat, vytvořit argument a dobře
jej zdokumentovat.
Důkazy např. ze cvičení 4c.2, 4c.3, 4c.4, 4c.5, 1b.6, 1b.7.
8,9.[5 bd každý] "Jednohubky", dá se čekat mix jednoduchých
praktických příkladů týkajících se témat nepokrytých výše. Vše pokryto na
cvičeních. Typické jednohubky:
• úkoly o částečně uspořádaných množinách:
Hasseův diagram, rozpoznání max/min atd., linearizace (cvičení 6a.7 a 6b.2,
také 6b.6);
• doplňování relace, aby splňovala určité vlastnosti (cvičení 4c.11);
• plráce s pojmem skládání relací, viz cvičení 4a.7;
• úkoly okolo ekvivalencí (určit třídu ekvivalence k danému prvku, viz
cvičení 5a.3 a 5a.4);
• spočetnost, viz např. cvičení 9d.2 a 9d.3;
• princip inkluze a exkluze
(vzorce z poznámky 11b.1, aplikace jako příklad 11b.h)
či šuplíkový princip (např. cvičení 11b.22 až 11b.24);
• odhadnout pomocí iterací vzorec pro funkci f zadanou rovnicí
typu rozděl-panuj a vyjádřit ve formě
• odhad asymptotické rychlosti růstu dané funkce (viz cvičení 10b.2 a
také lehká část příkladu 10b.n);
• etc.