21: Měli byste dostat

Lagrangeův odhad chyby je

Určete to maximum ve vzorci.

Další nápověda
Výsledek

Poznámka: Tento příklad vám může přijít trochu srandovní, pokud tuto aproximaci chápete jako způsob vyhnout se počítači či kalkulačce, protože onen odhad výše stejně nejde rozumně udělat jen tužkou a papírem (na rozdíl od ostatních příkladů zde). Hlavní použití aproximace je ale dnes jiné. Číslo ln(2.8) nelze spočítat pomocí algebraických operací. Proto jej také není možné dostat přesně pomocí počítačů. Na druhou stranu, jakmile si e schováme do paměti, můžeme vypočítat onen odhad výše už jen pomocí algebraických operací, což znamená, že už to počítač dokáže.

Toto by se dalo obejít volbou středu a = 1. Pak by se ve výsledném polynomu a také v aproximačním výrazu vyskytovala pouze "pěkná" čísla. Lagrangeův odhad chyby se pak ale ukáže jako dost velký (což ještě nemusí znamenat nic, je to jen horní odhad a může přehánět). Bohužel, chyba je opravdu velice velká a pokročilejší teorie ukazuje, že zvyšováním stupně Taylorova polynomu tuto chybu ještě zvětšíme! Taylorova aproximace logaritmu se středem a = 1 funguje dobře jen pro x < 2, takže tohle je slepá ulička.