19: Definiční obor je D( f ) = (−1,0) ∪ (0,∞).
Derivace je

Kritické body: Rovnici f ′(x) = 0 nelze analyticky vyřešit. Protože jmenovatel je na definičním oboru vždy kladný, je znaménko f ′ určeno svým čitatelem

g(x) = x − (x + 1)⋅ln(x + 1).

Můžeme uhádnout, že g = 0 pro x = 0, pořád ale nedokážeme g zvládnout analyticky. Trik: Podíváme se, jak g jde. Najdeme derivaci g′(x) = −ln(x + 1), její znaménko říká, že g je rostoucí na (−1,0) a klesající na (0,∞). To ukazuje, že g(0) = 0 je lokální maximum a také globální maximum, proto není g nikdy kladné pro x > −1.

Právě jsme zjistili, že nejsou kritické body, proto intervaly monotonie budou (−1,0) a (0,∞) a navíc tam f ′ < 0. Teď by měla být tabulka monotonie jasná.

Další nápověda
Výsledek