Toto téma je vlastně vypůjčeno z teorie funkcí. Proto jen stručně zopakujeme tuto větu v podobě aplikovatelné na posloupnosti.
Věta (L'Hospitalovo pravidlo).
Nechť f a g jsou funkce definovány na nějakém intervalu(K,∞). Jestliže mají jak f tak g limitu v nekonečnu rovnou 0, nebo jestli jak f tak g mají v nekonečnu nekonečnou limitu, pakza předpokladu, že limita na pravé straně existuje.
Jak to pomůže? Představme si, že máme dvě posloupnosti,
Ať už je to kterýkoliv z těchto dvou případů, pokud limita na pravé straně existuje, pak je tento výsledek také platný pro limitu na levé straně a tedy i pro limitu podílu posloupností. Pokud naopak procedura selže (například pokud limita na pravé straně neexistuje), pak o problému s posloupnostmi nemůžeme nic říct (viz například tento příklad v části Řešené příklady - Limita).
Poznamenejme, že použití l'Hospitalova pravidla obvykle označujeme kratším způsobem, viz další příklad.
Příklad:
Protože jsme na konci dostali odpověď, ta "podmíněná rovnost" v kroku s l'Hospitalem je ospravedlněna.
Předpoklady věty jsou pro její platnost zásadní. Pokud limita není uvedeného typu, l'Hospitalův vzorec obecně neplatí. Uvažujme následující velice jednoduchý příklad:
Příklad:
Všimněte si, že tento limitní příklad není l'Hospitalova typu (nula dělená nulou, nekonečno dělené nekonečnem, dokonce ani něco dělené nekonečnem) a proto nelze l'Hospitalovo pravidlo použít. Co se stane, když zapomeneme zkontrolovat typ podílu a necháme se svést formou zlomku k použití l'Hospitalova pravidla? Dostaneme špatnou odpověď:
L'Hospitalovu větu lze ve skutečnosti použít i v obecnějších situacích. Verze, kterou jsme citovali, je ta používaná ve většině učebnic a přednášek kalkulu. Proto budeme v Math Tutoru obvykle (když je to možné) předstírat při řešení problémů, že je to jediná verze, kterou známe, takže se doufejme nedostanete do problému tím, že si zde zvyknete používat něco, co váš profák neprobral.
Jak vypadá ta obecnější verze? Případ nelze zobecnit, tam je věta v nejlepší možné verzi. Nicméně v druhém případě, , ve skutečnosti nemusíme mít starosti ohledně čitateli; l'Hospitalovo pravidlo lze také aplikovat na typ "něco děleno nekonečnem"!
Věta (L'Hospitalovo pravidlo).
Nechť f a g jsou funkce definované na nějakém intervalu(K,∞). Jestliže g jde do nekonečna pro x jdoucí do nekonečna, pakza předpokladu, že limita na pravé straně existuje.
Má tato obecnější verze nějakou výhodu? Uvažujme podíl
Jak vidíte, ve většině případů stačí první verze l'Hospitala. Má tedy ta nová
verze nějakou výhodu? Rozhodně. Za prvé, jsou problémy, kde sice čitatel do
nekonečna jde, ale důkaz tohoto faktu by byl tak pracný, že člověk opravdu
ocení, že to nová obecnější verze nevyžaduje (stále je třeba dokázat, že
jmenovatel jde do nekonečna, ale to je poloviční práce ve srovnání s první
verzí l'Hospitala). Obecnější verze je tedy rozhodně pohodlnější pro problémy
s nekonečny (nešetří práci pro problémy typu "nula dělená nulou").
To ovšem není všechno. Může se stát, že čitatel vlastně nejde k žádné limitě!
Zatímco první verzi nejde pro typ "neex. děleno nekonečnem" použít, tu
obecnější použít můžeme! Ačkoliv jsme tedy slíbili, že se budeme držet té
první verze, občas budeme používat i tu obecnější.
Pro praktický pohled na použití l'Hospitalova pravidla viz šuplík "neurčitý podíl" v části Přehled metod - Limita.
V části Řešené příklady - Limita je l'Hospitalovo pravidlo použito v tomto příkladě (což je klasický učebnicový příklad), je také částí většiny ostatních řešení, hlavně v tomto příkladě, tomto příkladě, tomto příkladě, a tomto příkladě. Pro pěkný příklad, na který lze l'Hospitalovo pravidlo použít, ale nevede to k žádnému závěru, podívejte se na tento příklad.