Když mluvíme o rozličných "velikostech" nekonečna, mluvíme vlastně o "řádu". To je matematický pojem týkající se srovnání, jak malé či velké funkce jsou v určitém bodě. Protože to potřebujeme pouze pro posloupnosti, nepokryjeme to zcela obecně a budeme méně formální. Snad to tak bude srozumitelnější.
Uvažujme dvě posloupnosti, an a
bn. Chceme porovnat, jak se chovají, když se
n stane opravdu velkým. Typicky by obě posloupnosti šli do nekonečna a
my bychom potřebovali porovnat "velikosti" těchto nekonečen, ale není to
jediná možnost. Můžeme také porovnávat, jak posloupnosti konvergují k
určitému číslu. Typickým příkladem je, když obě konvergují k nule. Víme, že
Budeme vlastně mluvit o dvou typech srovnání. Pojem řádu srovnává nekonečna přibližně; když má jeden výraz vyšší řád, znamená to, že je podstatně větčí, ne jen o trochu. Z jiného pohledu se dá říst, že když jsou dvě posloupnosti stejného řádu v nekonečnu, pak jsou zhruba stejné.
To se hodí, když zjišťujeme, které části jsou méně důležité a které části převáží nad kterými když dojde na přímou konfrontaci, ale není to dostatečné pro přesný odhad limity. Jak například uvidíme později, 2n a 5n mají stejný řád, ale když je vydělíme n ve zlomku, dají v nekonečnu rozdílné limity (2 oproti 5).
Představíme proto další srovnání. Nemá formální název, protože nebývá formálně zavedeno v učebnicích, takže jen budeme říkat, že se dvě posloupnosti "chovají v nekonečnu stejně", a používat značení ∼.
Definice.
Uvažujme posloupnosti{an} a{bn}.
Řekneme, že an má (v nekonečnu) vyšší řád než bn, značenobn = o(an), jestližeŘekneme, že tyto dvě posloupnosti jsou (v nekonečnu) stejného řádu, jestliže existuje kladné číslo A splňující
Řekneme, že tyto dvě posloupnosti se v nekonečnu chovají stejně, značeno
an ∼ bn, jestliže
Všimněte si, že
(Absolutní hodnotu jsem museli použít, protože
Jaké mají tyto pojmy použití? Řád nám umožňuje získat intuitivní pochopení
rychlosti růstu, soustředí se na podstatné a ignoruje méně důležité faktory.
Je například snadné ověřit z definice, že n2 má vyšší řád
než n. Je stejně snadné ověřit, že
Řád tak rozděluje výrazy do skupin, uvnitř každé skupiny mohou být další
srovnání (2n určitě roste do nekonečna rychleji než jen n),
ale rozdíl není tak velký; důležité je, že libovolný člen jedné skupiny
přebije libovolného člena další skupiny, pokud tato má nižší řád. Obvykle si
vybíráme ten nejjednodušší člen jako reprezentanta celé skupiny, či "typu",
jak také říkáme, například výrazy jako
Nejpopulárnější typy jsou representovány mocninami, eponenciálami,mocninami logaritmů, faktoriály a obecnými mocninami. Přímá aplikace řádu umožňuje rychle určit limitu podílu těchto typů, pokud tedy dokážeme ustanovit nějaké obecné srovnání.
Největší užitek je nicméně z kombinace řádu a vztahu "chovají se stejně". Zatímco řád je příliš hrubý na správné určení limity, pokud se dvě posloupnosti chovají stejně, musí mít stejnou limitu v nekonečnu. To nám umožňuje nahradit komplikované výrazy jednoduššími, které se chovají stejně, což ulehčí následnou práci. Nejpřirozenější způsob vytváření těch jednodušších výrazů je pomocí řádu: všechny části výrazu, které jsou nižšího řádu, lze často ignorovat. Mluvili jsme o tom v sekci Intuitivní výpočty v části Teorie - Limita. Teď je čas pro trochu přesnosti.
Fakt.
Jestližean→L aan ∼ bn, pakbn→L.
Toto ukazuje hlavní přínos srovnání. Teď přesně vyjádříme, jak zjednodušovat posloupnosti.
Fakt.
Jestližebn = o(an), pak(an + bn) ∼ an.
Řečeno slovy, když hledáme limitu nějakého součtu, můžeme ignorovat části
nižšího řádu, aniž bychom udělali chybu. Důkaz je vlastně velice snadný.
Máme dokázat, že podíl
Když se pořádně dokážou tyto dva fakty spolu se škálou mocnin, tak se intuitivní výpočet, o kterém jsme se už zmiňovali, stane správnou a korektní matematickou metodou, není už pak třeba dále dokazovat jím získané závěry! Bohužel, jak už jsme poznamenali, tato teorie nebývá pokryta (snad žádnou) učebnicí kalkulu, takže se na ni nebudeme spoléhat ani v Math Tutoru; budeme ji jen používat jako pomocnou metodu a potvrzovat získané výsledky obvyklejšími metodami (jako ten vytýkací trik). To neznamená, že byste to nemohli zkoušet ve škole, ale než začnete odevzdávat písemky s výsledky odůvodněnými větami typu "exponenciály přebijí logaritmy", ujistěte se, že tomuto tématu dobře rozumíte; zkoušející budou mít k vašemu postupu určitě otázky a jestli nebudete umět odpovědět...
Jak už jsme zmínili, mocniny a podobné výrazy jsou nejpopulárnějš typy, které bývají srovnávány, i když typů existuje samozřejmě víc; ty jsou ovšem vzácnější. V sekci Intuitivní výpočty v části Teorie - Limita jsme ustanovili škálu mocnin; ve skutečnosti jsme tvrdili následující:
To vše se dá dokázat, něco pomocí l'Hospitalova pravidla, jiné srovnáním (viz Apendix níže). Tvrdili jsme také, že v každé kategorii mají výrazy s větší konstantou vyšší řád:
Jestliže
Jestliže
Jestliže
Zde jsou důkazy velice snadné, když si napíšete příslušný podíl k důkazu určitého vztahu, uvidíte, že se pěkně pokrátí.
Jedna zajímavá věc ohledně řádu je, že z něj vznikají zajímavé relace.
Jmenovitě relace "být stejného řádu" je ekvivalence a relace "být
většího řádu" je tranzitivní. To mimo jiné znamená, že jakmile dokážeme výše
vypsaná fakta o mocninách, exponenciálách atd., můžeme automaticky používat
další srovnání přes prostředníka; například automaticky máme, že
Vlastně bychom mohli udělat stejné úvahy pro dvě funkce
Tvrzení
Tvrzení
Tvrzení
Jestliže je b kladné celé číslo, pak se důkaz dělá opakováním
l'Hospitalova pravidla b-krát. Formálně se to nejlépe zvládne indukcí,
udělali už jsme
Jestliže
Tvrzení