Omezenost reálných funkcí: Přehled metod

Omezenost je trochu triková, protože k jejímu určení nemáme přímé metody. Jsou ale určité přístupy, které se dají zkusit.

1. Známá omezenost. Víme, že některé funkce - hlavně některé elementární - jsou omezené, například všechny konstanty, sinus, kosinus, všechny inverzní goniometrické funkce. Pokud takové funkce kombinujeme, často rovněž dostaneme omezené funkce. Následující fakta mohou přijít vhod:

 • Jsou-li f,g omezené, pak f + g, f − g, f⋅g a f ^g jsou také omezené.
 • Je-li f omezená, pak | f | je omezená a rovněž složená funkce f (g) je omezená pro libovolnou funkci g. Mimo jiné to znamená, že každá transformace f je také omezená.
Poznámka: Je-li g omezená, pak f (g) nemusí být. Například sin(x) je omezená, ale cotg(sin(x)) není. (Hodnoty sin(x) se blíží libovolně blízko nule a kotangens jde do nekonečna pro argument blížící se k nule.)
 • Je-li f omezená a g se neblíží libovolně blízko k nule (přesně inf(|g|) > 0, viz separace od 0 v sekci Spojitost), pak f /g je omezená.

2. Známá neomezenost. Víme také, že některé funkce jsou neomezené, například polynomy, tangens a kotangens, exponenciála a logaritmus atd. Zase se hodí pár faktů.

 • Součet/rozdíl funkce omezené a neomezené je funkce neomezená. Poznamenejme, že sečtením/odečtením dvou neomezených funkcí je možné dostat funkci omezenou. U součinu a podílu se může stát cokoliv, například součin dvou neomezených funkcí může být omezený. Příklad: x⋅(1/x) = 1.
 • Rovněž skládání je dost nepříjemné, kompozice dvou neomezených funkcí může dát funkci omezenou. Například 1/x je neomezená, stejně jako (e^x + 1), ale když dosadíme tu druhou do první, dostaneme 1/(e^x + 1), což je omezená funkce. Proč? inf(e^x + 1) = 1, takže jsme odděleni od nuly, a 1 je omezená funkce, takže zlomek je omezený podle posledního faktu v části 1 nahoře.

3. Teoretické triky. Tyto používají znalost teorie, ukážeme jen pár užitečných fakt.

 • Funkce spojité na omezené uzavřené množině jsou omezené.
 • Funkce omezené na množině jsou také omezené na všech jejích podmnožinách. Toto je obvykle používáno naopak. Když uvažujeme funkci na dané množině, někdy pomůže podívat se na nějakou větší množinu, na které je snažší tu omezenost vidět. Například je-li dána otevřená množina, často se vyplatí podívat se nejprve na nějakou větší uzavřenou množinu (v typickém případě přidáním koncových bodů), protože pak lze použít předchozí trik.
 • Je-li funkce f spojitá na množině M, která je interval či jejich konečné sjednocení, a všechny limity (jednostranné) v koncových bodech M jsou konečné, pak je f omezená na M.
 • Jestliže je obor hodnot g omezená uzavřená množina a f je funkce spojitá na této množině, pak je kompozice f (g) omezená. Obecně, jestliže je obor hodnot g jistá množina M, která je interval nebo jejich konečné sjednocení, můžeme zkoumat f na M jako v druhém faktu této části a určit omezenost f (g).

4. Přes graf. Když vše ostatní selže, vždycky je možné určit graf dané funkce pomocí metod z části Derivace - Teorie - Průběh funkce a pak odhadnout omezenost z grafu.

Příklad: Určete omezenost

Řešení: Měly bychom vždy začít určením definičního oboru, zde to je docela snadné, jsou to všechna reálná čísla (ověřte). Vidíme, že tato funkce je součet/rozdíl tří členů, takže se můžeme podívat na každý z nich zvlášť a pak to zkusit dát dohromady.

První člen je součin. Sinus je omezená funke, takže ať už do něj dosazujeme cokoliv, výsledek - zde sin(e^x) - je stále omezený. Druhý člen je trochu těžší. Tangens není omezený, ale dosazujeme do něj omezenou funkci, takže možná nebudeme ty "špatné" části uvažovat. A je tomu tak, obor hodnot kosinu je omezený uzavřený interval ⟨−1,1⟩, na kterém je tangens spojitý, proto tg(cos(x)) je omezený. No a součin dvou omezených funkcí je omezený.

Druhý člen je podíl dvou funkcí. Funkce nahoře je omezená, protože je to jen transformace omezené funkce kosinus (vodorovný posun a zrcadlení, pak svislý posun a natáhnutí). To je dobrý začátek, teď bychom potřebovali vědět, jestli se může jmenovatel přiblížit libovolně blízko nule. Výraz x² + 1 je ale vždy nejméně 1, takže blíž se k nule nedostane. Proto je zlomek omezená funkce.

Třetí člen je zase složená funkce. Vnější funkce není omezená, takže možná máme problém. Vnitřní funkce - arc kotangens - je omezená s oborem hodnot (0,π), a protože je logaritmus všude spojitý, je spojitý i na tomto intervalu. Rozhodnou tedy limity v koncových bodech. Nemáme problém s π, ale víme, že když se argument logaritmu blíží k nule, logaritmus vybuchuje do mínus nekonečna. Tento člen tedy není omezený.

Součet prvních dvou omezených členů je omezený, takže máme omezený výraz, od kterého odečítáme neomezený. Proto není daná funkce omezená.

Pro další příklady odkazujeme na Řešené příklady.

Symetrie
Zpět na Přehled metod - Základní vlastnosti reálných funkcí