Je-li dán kvadratický polynom
Teorie říká, že toto je možné, jen pokud má daný kvadratický polynom reálné
kořeny, pak ony konstanty a,b jsou přesně ty kořeny
(můžeme mít
Někteří lidé jsou nicméně příliš líní na to, aby blbli s kořeny a výpočty, raději rozklady odhadují. Hádání má jednu ohromnou výhodu: Pokud se povede, obvykle je to rychlé a snadné. Velká nevýhoda je, že funguje jen zřídka, pouze pokud kořeny existují a jsou to relativně malá celá čísla. Z matematického pohledu to znamená, že hádání v zásadě nikdy nefunguje. Z pohledu studenta to ale není tak špatné, protože problémy řešené ve škole nejsou opravdu reprezentativní pro "skutečné" problémy, ale speciální příklady připravené učiteli. Často se proto stane, že kořeny jsou pěkná malá celá čísla a hádání rozkladu vyloženě září.
Jak to funguje? Pokud roznásobíme tu rovnici nahoře, uvidíme, jaké podmínky musí splňovat neznámé konstanty a,b (což jsou vlastně neznámé kořeny):
Podmínky tedy jsou
Proto budeme vždy vynechávat třeba kandidátské dvojice s
Příklad: Jací jsou kandidáti pro rozklad
Řešení: Jestliže jsou celé kořeny a,b tohoto polynomu,
pak musí splňovat
1.
2.
Jak jsme poznamenali, není nutné uvažovat další dvě možnosti,
Dobře, máme tedy kandidáty, jak poznáme, který z nich je správný? Jsou dva
způsoby. Správný pár musí splňovat rovnici
Příklad: Najděte rozklad
Řešení: Našli jsme dva kandidáty:
1.
2.
Metoda 1: Druhá podmínka je
Metoda 2: Podíváme se, kolik x dostaneme z obou možných rozkladů po roznásobení:
1.
2.
Vidíme, že první rozklad je ten správný.
Někdy je kandidátů více.
Příklad: Najděte rozklad
Řešení: Neznáme kořeny a,b musí splňovat
Zase jsme psali jen páry s větším prvním číslem (či rovným - ne zde, ale obecně). Kladné číslo jde dostat buď násobením dvou kladných nebo dvou záporných čísel, takže pro každý pár vlastně máme dvojici párů kandidátů. Proto dostáváme
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Abychom zjistili, který z párů je ten správný, tak buď ověříme, který
vyhovuje rovnici
1.
2.
3.
4.
A máme vítěze, správný rozklad je
odpovídající kořenům
Jaké problémy mohou nastat? Ten evidentní je, že polynom nemá reálné kořeny, nebo je má, ale nejsou to pěkná celá čísla.
Příklad: Najděte rozklad
Řešení: Neznáme kořeny a,b musí splňovat
Zase jsme psali jen páry s prvním číslem menším (či rovným - ne zde, ale obecně). Záporné číslo lze získat násobením kladného a záporného čísla a máme volbu, jakým způsobem ta znaménka rozdělíme, pro každý součin tedy dostaneme dvě dvojice kandidátů:
1.
2.
3.
4.
Je teď snadné ověřit, že žádný z párů nesplňuje rovnici
1.
2.
3.
4.
Z toho vyplývá, že tento kvadratický polynom nelze rozložit pomocí celých čísel, takže buď není možný žádný rozklad, nebo používá a,b, která nejsou celá čísla. Kvadratický vzorec ukáže, že jde o ten druhý případ, kořeny jsou iracionální.
Je ještě jeden možný problém. Může se stát, že celočíselné kořeny a proto i "pěkný" rozklad existují, ale seznam kandidátů je tak dlouhý, že je prostě snažší použít kvadratický vzorec, než se jimi probírat.
Příklad: Najděte rozklad x2 − 42x + 360.
Řešení: Neznámé kořeny a,b musí splňovat
360 = 1⋅360 = 2⋅180 = 3⋅120 = 4⋅90 = 5⋅72 = 6⋅60 = 8⋅45 = 9⋅40 = 10⋅36 = 12⋅30 = 15⋅24 = 18⋅20.
Pro každý rozklad musíme uvažovat dva plusy nebo dva mínusy, což znamená, že máme 24 kandidátů na rozklad. Ten správný může být hned ten první, pak bychom to měli hned, ale také ten poslední nebo třeba žádný, a já se rozhodně necítím na 24 výpočtů. Zdá se mnohem snažší použít kvadratický vzorec a zjistit, že v tomto případě máme rozklad
odpovídající kořenům 12, 30. Mimochodem, tohle je 19. kandidát v tom seznamu.
Tenhle problém vlastně není tak špatný, jak se zdá, protože víme, že hledaná čísla se musí sečíst do 42. Většina kandidátů je na první pohled mimo, takže není třeba zkoumat všechny páry, ale jen ty, které mají na pohled nějakou šanci dát dohromady 42. Zkušený "hadač" by rychle proletěl pohledem seznam rozkladů a vybral řekněme 4 kandidáty pro další zkoumání. To samozřejmě zcela problém neřeší, tohle byl ještě pěkný příklad. Je snadné napsat kvadratický polynom, kde budou stovky rozkladů, a jen napsat stručný jejich seznam je zcela mimo mísu.
Poznámka: Někteří lidé (například já) dávají přednost mírné modifikaci předchozího postupu. Namísto onoho obecného rozkladu jako nahoře to zapíšeme takto:
Jediný rozdíl je ve znaménku, pro některé lidi to je takto snažší. Namísto kořenů pak hledáme "mínus kořeny", ale to není problém.
Příklad: Najděte rozklad
Řešení: Chceme mít
Zase jsme vypsali jen páry s prvním číslem menším (nebo rovným). Kladné číslo lze dostat vynásobením dvou kladných nebo dvou záporných čísel, takže pro každý pár dostaneme dva páry kandidátů. Máme proto:
1.
2.
3.
4.
Teď zkusíme rozklady:
1.
2.
A máme vítěze, správný rozklad je
odpovídající kořeny (pozor na znaménko) jsou 1, 4.