Derivace parametrických funkcí: Přehled metod

Uvažujme parametrickou funkci y = y(x) danou parametrickou křivkou
x = x(t),
y = y(t)
na okolí nějakého bodu (x₀,y₀) odpovídajícího času t₀. Předpokládejme, že funkce x(t), y(t) jsou diferencovatelné v t₀.

Derivaci y′ vzhledem k x najdeme jako

Pokud jsou funkce x(t), y(t) dokonce dvakrát diferencovatelné v t₀, pak také máme druhou derivaci

Příklad: V Řešených příkladech v části Funkce - Řešené příklady - Implicitní a parametrické funkce jsme ukázali, že parametrická křivka daná
x = e^t − 1,
y = e^2t − 2e^t
je ve skutečnosti část paraboly, takže jde vyjádřit jako funkce y(x) na okolí bodu (0,−1). Najděte y′(0), derivaci vzhledem k x v 0.

Řešení: Použijeme vzorec. Čas odpovídající bodu (0,1) je t = 0.

Mimochodem, to ukazuje, že v onom bodě máme vodorovnou tečnu, což souhlasí s obrázkem, který jsme dostali předtím.

Poznámka: Tečný vektor k parametrické křivce   x = x(t), y = y(t)   se dá najít jako   v = (,).

Náčrt parametrických funkcí
Zpět na Přehled metod - Implicitní a parametrické funkce