Příklad: Uvažujme funkci
![](gifa1/pc4da1bb.gif)
Tato funkce vypadá následovně:
![](gifa1/pc4da1bc.gif)
Tvrdíme, že nemá žádnou primitivní funkci na
〈0,2〉. Dokážeme to sporem.
Předpokládejme, že nějaká funkce F je primitivní funkcí k f na
〈0,2〉. Pak pro x > 1 máme
F ′(x) = f (x) = 2,
zatímco pro x < 1 máme
F ′(x) = f (x) = 1.
Co se dá říct o derivaci v bodě x = 1? Protože
F je primitivní funkce, musí platit
F ′(1) = f (1) = 2.
Proto také musí existovat derivace F zleva v 1 a být rovna 2. Na
druhou stranu, protože je F spojitá v 1 zleva a
F ′ je spojitá na (0,1) (tj. na
levém
okolí bodu 1), můžeme použít větu (viz Derivace a limita v části Derivace - Teorie - Věta o
střední hodnotě) k nalezení levé derivace v 1:
![](gifa1/pc4da1ga.gif)
Tento spor ukazuje, že náš předpoklad byl nesprávný, F nemůže být
primitivní funkcí k f.