Substituce je nejmocnější a zároveň asi nejjednodušší metoda na výpočet integrálů, proto se ji většinou snažíme použít. Nevýhodou je, že funguje jen někdy. Je tedy nutné se naučit nejen metodu samotnou, ale praxí také získat schopnost odhadnout, kdy je substituce výhodná. Obecná myšlenka substituce je popsána v této poznámce.
je založena na této matematické větě. V ideálním případě by se dala vyjádřit tímto postupem:
Takže si zvolíme transformaci
Pokud se substituce povede, dostáváme nový integrál, který při troše štěstí dokážeme vyřešit. Pak je ještě třeba provést tzv. zpětnou substituci, tedy přejít zpět k původní proměnné, to je ale snadné, máme na to vzorec.
Jak to ladí s formální větou o substituci? Máme funkci
Krása onoho zápisu výše je, že nás zbavuje všech těchto úvah, neřešíme
J a I, prostě chceme vyměnit jeden vzorec za jiný.
Nemusíme také myslet na to, že by se podle věty v tom komplikovaném
integrálu kromě složeného f měla vyskytovat také derivace funkce
g. Substituční postup nás totiž nutí dosadit nikoliv za dx,
ale za
Hlavní slabinou je, že u dx musíme mít
Základní
požadavek je, že z integrálu po substituci musí původní proměnná zcela
zmizet. Jediným nástrojem je zvolená transformace
Lineární substituce.
Myslíme tím libovolnou substituci ve tvaru
Integrál je samozřejmě platný jen pro
je založena na této matematické větě. V ideálním případě by se dala vyjádřit tímto postupem:
Vypadá to, jako bychom jen následovali přímou substituci výše v opačném směru, a něco na tom je. Tam jsme se snažili zjednodušit integrál tím, že jsme si (složitý) výraz nahradili jedním písmenkem, zde naopak děláme integrál složitějším, ale základní mechanismus zůstává: Zvolíme si transformaci a pak ji použijeme k přeměně integrálu, také rovnost pro nahrazení diferenciálu dostáváme tak, že zderivujeme g a použijeme to jako koeficient. Nicméně uvnitř jde o rozdílný proces, což se odráží například v tom, že zde jsou nároky na g vyšší (například musí být na rozdíl od přímé substituce invertibilní).
Je zde také rozdíl v obtížnosti fází. Přímá substituce má problém hned na
začátku, hlavně s nahrazením dx, což často zvolenou substituci
znemožní, ale zpětná substituce je jasná. Naopak u nepřímé substituce není
při jejím provádění s dx problém, z
Proč by vlastně chtěl někdo udělat integrál komplikovanějším, než už je? Nikterak překvapivě se nepřímá substituce používá velice zřídka, ale jsou jisté typy integrálů, u kterých pomůže, a zkušení integrátoři vědí, že se pak určité nepřímé substituce nakonec magicky zjednoduší (viz integrály s odmocninou v Přehledu metod - Integrace). Ukažme si jednoduchý příklad tohoto typu.
Popravdě řečeno jde o tabulkový integrál a měli byste si jej pamatovat.
Poznamenejme, že i tento snadný integrál je již sdostatek dobrý, aby ukázal,
že nepřímá substituce zas není tak snadná, jak vypadá. Pečlivý čtenář se měl
zarazit u prvního integrálu v druhém řádku: Neměla by tam ve jmenovateli být
absolutní hodnota? To je velice dobrá otázka a odpověď závisí na tom, jak
vlastně tuto nepřímou substituci děláme. Podle věty bychom měli vzít funkci
je vlastně kombinace přímé i nepřímé substituce a používá se jí hlavně ke
zkrácení výpočtu v případech, kdy by bylo nutno použít několika substitucí v
řadě. Zkušení integrátoři si tak dokážou ušetřit spoustu času. Začíná
transformací
I zde je potřeba být opatrný, na jakém intervalu nová proměnná žije, u
tohoto příkladu je třeba se rozhodnou mezi intervaly
Je to v zásadě stejné jako substituce v integrálu neurčitém. Psali jsme, že
základní pravidlo substituce je změnit vše z jazyka x do jazyka
y, což zahrnuje také meze. Jak se změní? Jako obvykle, pomocí naší
základní transformace
Podobně měníme meze u substituce nepřímé a smíšené, ale tam je to poněkud
obtížnější. Například výše jsme měli smíšenou substituci
Pro praktické návody a příklady se podívejte na sekci Substituce v části Přehled metod - Metody integrace.