Definice.
Pro kladné x definujeme Gama funkci předpisem
Tento integrál není lehké obecně spočítat, proto nejprve prozkoumáme Gama
funkci v důležitých bodech. Začneme s
Teď se podíváme na hodnotu v
Ten poslední integrál nelze spočítat pomocí primitivní funkce (viz poznámka o Newtonovské integrabilitě). Tento určitý integrál je ale velmi důležitý (například v pravděpodobnosti), takže byl nalezen trik na jeho spočítání.
K nalezení hodnoty Gama funkce v dalších bodech odvodíme zajímavou identitu pomocí integrace per partes:
Limita se počítá několikanásobným použitím l'Hospitalova pravidla. Vidíme, že pro kladné x máme
Pokud toto aplikujeme na přirozené číslo n, dostaneme
Vidíme tedy, že Gama funkce je zobecněním faktoriálu. Dá se ukázat, že limita Gama funkce v bodě 0 zprava je nekonečná, takže tato funkce vypadá nějak takto:
Protože hodnota Gama funkce v přirozených číslech je dána faktoriálem, plyne z toho, že utíká do nekonečna dokonce rychleji než exponenciály.
Definice.
Pro kladné x,y definujeme Beta funkci předpisem
Pomocí substituce
K výpočtu Beta funkce se obvykle používají Gama funkce. Abychom našli jejich vzájemný vztah, je třeba provést docela komplikovaný výpočet zahrnující trikovou transformaci proměnných (z kartézských na trikové polární) v dvojném integrálu. To přesahuje rozsah této sekce, ale pro úplnost to zde uvedeme:
Takže