Uvidíme, že často je relativně snadné určit, že daná řada konverguje. Nalezení jejího součtu, čísla, ke kterému konverguje, je ale překvapivě obtížný problém. Neexistuje obecný přístup, kterým by se dalo začít; známé výsledky jsou spíš vedlejší výstupy dosti pokročilých výpočtů v rozličných partiích matematiky. To je také důvod, proč se na problém sčítání řad v kursech kalkulu spíš jen nakoukne. V zásadě zde uděláme totéž. Nejprve ukážeme dva případy, kdy víme, jak získat součet, geometrickou a teleskopickou řadu. Pak uvedeme přístup přes Taylorovy řady, který má občas dobrou šanci na úspěch. Nakonec připomeneme několik vzorců pro součty mocnin.
Už jsme v předchozím odstavci naznačili, že sčítat řady přesně, výpočtem, je drsné; dá se tedy čekat, že pro mnohé, dokonce pro většinu řad níže popsané metody (a další metody) selžou. Co pak můžeme dělat? Samozřejmě zkusíme aproximovat, což je téma příští sekce. Teď zpět k našim metodám.
Je jedna řada, kterou umí sečíst každý - jmenovitě geometrická řada. Zde je situace velmi snadná, stačí si pamatovat následující vzorec.
Fakt.
Jestliže|q| < 1, pak
Vzhledem k tomu, že to je vzorec jen pro jeden typ řady, tak je překvapující, jak často nám pomůže. Někdy je daná řada geometrická v převleku a pak je třeba trochu zapracovat, aby se ocitla ve správném tvaru.
Příklad:
Namísto formálního provedení substituce stačí vzít a vytknout
Teleskopickou řadou myslíme libovolnou řadu ve tvaru
(bk − bk+1).
Jak vidíme, řada se zhroutila do sebe, složila se jako pirátský dalekohled neboli teleskop. Protože je konvergence řady dána konvergencí částečných součtů, dostaneme následující tvrzení.
Fakt.
Teleskopická řadakonverguje tehdy a jen tehdy, když posloupnost (bk − bk+1)
{bk} konverguje. Pak také
Volba pořadí členů v definici teleskopické řady byla zcela na nás, mohli
jsme také definovat teleskopickou řadu jako řadu se členy
Příklad: Najděte součet
Máme teleskopickou řadu. Abychom určili její konvergenci nebo divergenci, podíváme se na její částečné součty a přejdeme k limitě.
Teleskopické řady jsou docela vzácné, rozhodně jde o pojem výrazně méně užitečný než ta geometrická řada výše.
Někdy dostaneme velmi užitečnou informaci o součtu řady, pokud si do ní uměle zavedeme člen xk, čímž vznikne mocninná řada. Musíme to udělat takovým způsobem, abychom po dosazení určité konstanty za x zase dostali původní řadu. Jedna populární volba je nahradit 1 výrazem xk, pak po substituci 1 za x dostaneme zase naši řadu. Několik typických příkladů:
Když například v druhém případě dosadíme
Příklad: Zkusíme najít součet alternující harmonické řady
Víme, že pro každé kladné q máme
Důkaz je vlastně docela snadný a používá teleskopický efekt popsaný výše.
Vyšší mocniny mají komplikovanější vzorce a jsou méně populárnější, občas se dají potkat součty čtverců a kubik.
Důkazy jsou podobné a vyžadují znalost "nižších" sum, například součet čtverců se dělá takto.
Pro další příklady viz Přehled metod - Sčítání řad a Řešené příklady - Sčítání řad.
Approximace řad, chyba aproximace
Zpět na Teorie - Úvod k řadám