Uvidíme, že často je relativně snadné určit, že daná řada konverguje. Nalezení jejího součtu, čísla, ke kterému konverguje, je ale překvapivě obtížný problém. Neexistuje obecný přístup, kterým by se dalo začít; známé výsledky jsou spíš vedlejší výstupy dosti pokročilých výpočtů v rozličných partiích matematiky. To je také důvod, proč se na problém sčítání řad v kursech kalkulu spíš jen nakoukne. V zásadě zde uděláme totéž. Nejprve ukážeme dva případy, kdy víme, jak získat součet, geometrickou a teleskopickou řadu. Pak uvedeme přístup přes Taylorovy řady, který má občas dobrou šanci na úspěch. Nakonec připomeneme několik vzorců pro součty mocnin.
Už jsme v předchozím odstavci naznačili, že sčítat řady přesně, výpočtem, je drsné; dá se tedy čekat, že pro mnohé, dokonce pro většinu řad níže popsané metody (a další metody) selžou. Co pak můžeme dělat? Samozřejmě zkusíme aproximovat, což je téma příští sekce. Teď zpět k našim metodám.
Je jedna řada, kterou umí sečíst každý - jmenovitě geometrická řada. Zde je situace velmi snadná, stačí si pamatovat následující vzorec.
Fakt.
Jestliže|q| < 1, pak
Vzhledem k tomu, že to je vzorec jen pro jeden typ řady, tak je překvapující, jak často nám pomůže. Někdy je daná řada geometrická v převleku a pak je třeba trochu zapracovat, aby se ocitla ve správném tvaru.
Příklad:
Namísto formálního provedení substituce stačí vzít a vytknout
Teleskopickou řadou myslíme libovolnou řadu ve tvaru
Jak vidíme, řada se zhroutila do sebe, složila se jako pirátský dalekohled neboli teleskop. Protože je konvergence řady dána konvergencí částečných součtů, dostaneme následující tvrzení.
Fakt.
Teleskopická řada(bk − bk+1) konverguje tehdy a jen tehdy, když posloupnost{bk} konverguje. Pak také
Volba pořadí členů v definici teleskopické řady byla zcela na nás, mohli
jsme také definovat teleskopickou řadu jako řadu se členy
Příklad: Najděte součet
Máme teleskopickou řadu. Abychom určili její konvergenci nebo divergenci, podíváme se na její částečné součty a přejdeme k limitě.
Teleskopické řady jsou docela vzácné, rozhodně jde o pojem výrazně méně užitečný než ta geometrická řada výše.
Někdy dostaneme velmi užitečnou informaci o součtu řady, pokud si do ní uměle zavedeme člen xk, čímž vznikne mocninná řada. Musíme to udělat takovým způsobem, abychom po dosazení určité konstanty za x zase dostali původní řadu. Jedna populární volba je nahradit 1 výrazem xk, pak po substituci 1 za x dostaneme zase naši řadu. Několik typických příkladů:
Když například v druhém případě dosadíme
Příklad: Zkusíme najít součet alternující harmonické řady
Víme, že pro každé kladné q máme
Důkaz je vlastně docela snadný a používá teleskopický efekt popsaný výše.
Vyšší mocniny mají komplikovanější vzorce a jsou méně populárnější, občas se dají potkat součty čtverců a kubik.
Důkazy jsou podobné a vyžadují znalost "nižších" sum, například součet čtverců se dělá takto.
Pro další příklady viz Přehled metod - Sčítání řad a Řešené příklady - Sčítání řad.
Approximace řad, chyba aproximace
Zpět na Teorie - Úvod k řadám