Příklad: Rozviňte danou funkci v mocninnou (Taylorovu) řadu s daným středem.
Řešení:
Použijeme
standardní postup. Která funkce
bude základem pro náš rozklad? Není tam exponenciála, sinus ani kosinus,
takže vylučovací metodou to bude buď geometrický rozvoj nebo nějaký
pokročilejší trik. Můžeme z toho udělat něco, co vypadá (přibližně) jako
funkce
Teď budeme následovat standardní postup k vytvoření
Teď už jsme připraveni rozvinout tuto funkci pomocí geometrické řady, zde je
třeba opatrnosti ohledně platnosti rozvoje. Pak řadu přeorganizujeme tak, aby
se v ní objevily výrazy
Poznamenejme, že ten zlomek
Bonus: Daná funkce je vlastně podíl dvou funkcí, které umíme
rozvinout v mocninnou řadu, můžeme proto zkusit tento podíl rozvinout pomocí
metody neurčitých koeficientů. Napíšeme čitatel a jmenovatel jako řady, což
je docela snadné. Jsou to polynomy, tudíž je prostě přepíšeme tak, aby se
tam vyskytovaly členy
Teď obě strany vynásobíme jmenovatelem, abychom se zbavili zlomku, a pak přepíšeme vzniklé řady napravo jako jednu řadu. Naštěstí na to nebudeme potřebovat použít Cauchyho součin, protože jedna z těch dvou řad je "konečná", má jen konečně mnoho nenulových členů.
Na třetím řádku jsme v první řadě posunuli index, abychom měli správnou mocninu, pak jsme museli oddělit první člen druhé řady, aby měly ty dvě řady napravo stejné indexování.
Získali jsme rovnost dvou řad, takže podle jednoznačnosti rozvoje se musí odpovídající koeficienty nalevo a napravo rovnat.
Když ten poslední vzorec použijeme rekurzivně, dostaneme