Zde ukážeme, jak se dojde k důkazu následujícího tvrzení.
Nechť jsou f, g funkce definované na nějakém okolí bodu a. Jestliže jsou f a g spojité v bodě a, pak je funkce
f + g také spojitá v bodě a.
Jaký typ důkazu použijeme? Na první pohled není vidět nic, proč bychom se měli bát přímého důkazu. Být spojitý je konkrétní informace, takže to může být dobrý začátek. Oproti tomu nebýt spojitý je komplikovaná informace (protože spojitost se může zkazit více různými způsoby), takže přechod k negaci nevypadá moc slibně. To naznačuje, že nepřímý důkaz či důkaz sporem nejsou dobrý nápad. Závěr tedy je, že zkusíme přímý důkaz.
Jak by se dokázalo, že
Definice.
Funkce h je spojitá v bodě a právě tehdy, když se limita h v a rovnáh (a) .
Jsme připraveni začít důkaz.
Vezměme nějaký bod a a dvě funkce f, g definované na
okolí a. Budeme také předpokládat, že obě funkce jsou spojité v
a, což znamená, že ona podmínka výše platí pro f a g.
Potřebujeme teď ukázat, že součet
Co víme o limitě
Vímě něco o těch dvou limitách napravo? Ano, předpokládali jsme, že f a g jsou spojité v a, takže máme
Když to dáme dohromady, dostaneme
limx→a( f + g) = limx→a( f ) + limx→a(g) [podle věty o linearitě limity]
= f (a) + g(a) [ze spojitosti f a g v a]
= ( f + g)(a).
Podle podmínky z definice toto dokazuje, že je funkce
Všimněte si, jak byl každý krok v důkazu podepřen nějakým argumentem. Hlavní krok tu byl odůvodněn větou, která byla dokázána o limitách. To je typické, v matematice se snažíme šetřit práci tím, že využíváme již dříve udělané věci.
Jiní autoři ovšem dělají spojitost bez limity. Jejich definice pak vypadá následovně.
Definice.
Funkce h je spojitá v a, jestliže platí následující: Pro každée > 0 existujed > 0 takové, aby pro všechna reálná čísla x: Jestliže|x − a| < d, pak|h(x) − h(a)| < e.
Všimněte si, že jsme nepoužili tradiční epsilon a deltu. Měli jsme k tomu dobrý důvod, dává to definici jistou flexibilitu, která se později bude hodit. Ukazuje to také, že konkrétní volba písmen není důležitá, tím hlavním je význam. Co nám definice říká?
Zkusíme si symboly přeložit do významů. Když je dána jistá kvantita,
tolerance, pak musíme najít, jak daleko lze od a zajít, což je
specifikováno další kvantitou, aniž by se hodnoty h vzdálily příliš
daleko (měřeno tolerancí) od
Teď tuto definici aplikujeme na naši situaci. Chceme dělat přímý důkaz, což
znamená, že chceme ukázat, že je součet
Pro každé
To začíná obecným kvantifikátorem, abychom tedy ukázali platnost celého
výroku, musíme my začít takto: Nechť
ε je libovolné kladné
číslo. Potřebujeme ukázat pravdivost zbytku výroku, takže musíme najít delta
tak, aby zbytek platil. K tomu ovšem musíme dobře rozumět podmínce. Co se
stalo? Někdo nám dal toleranci
ε, nevíme kolik to je
(obecný kvantifikátor), ale máme to. Potřebujeme přinutit hodnoty
Toto je kritický moment, potřebujeme najít nějaký přechod mezi tím, co máme,
a tím, co potřebujeme, nejprve na konceptuální úrovni. Zde to vypadá docela
jasné. Spojitost f a g v a znamená, že hodnoty f
zůstávají blízko
To vypadá slibně. Existuje nějaký způsob, jak zcela oddělit část s f od části s g? Ano, takzvaná trojúhelníková nerovnost je přesně to, co zde potřebujeme.
Tohle je choulostivý okamžik, protože nerovnost vždy funguje jen v jednom
směru. Mámě štěstí a je tohle ten pravý směr pro nás? Podle našeho
předpokladu umíme udělat hodnoty f blízké k
Důkaz: Nechť ε je libovolné kladné číslo.
1a. Protože je f spojitá v a (jeden z našich základních
předpokladů), je podmínka z definice spojitosti splněna pro toto
f a a. Můžeme ji tedy aplikovat s tolerancí
1b. Protože je g spojitá v a (jeden z našich základních
předpokladů), je podmínka z definice spojitosti splněna pro toto
g a a. Můžeme ji tedy aplikovat s tolerancí
Mezihra: Aby bylá levá strana v (*) malá, musí být oba výrazy napravo malé. To znamená, že je třeba aplikovat obě omezení na x odvozená v krocích 1a. a 1b. zároveň. Vzdálenost, o kterou je dovoleno x se pohnout, se tedy musí vybrat takovým způsobem, aby se pak x nepohlo dále, než jsou ta dvě d výše, neboli si z těchto dvou omezení musíme vybrat menší.
2. Definujeme
Ukážeme to.
Vezměme proto libovolné x takové, že
přesně jak jsme potřebovali. Důkaz je hotov.
Tento druhý důkaz byl mnohem obtížnější než ten první. To ale neznamená, že lidé, kteří to dělají prvním způsobem, to mají lehčí. I oni se musí pustit do špinavé práce s nerovnostmi a epsilony, ale dělají to ve chvíli, kdy dokazují větu o linearitě limity. Takže se tomu ve skutečnosti nedá vyhnout, ale zdá se rozumnější s tím začít u limity, protože tam to stejně potřebujeme a když s tím začneme, pak dostaneme pěkný důkaz pro spojitost, jak jsme jej viděli výše.