27: Měli byste dostat

Lagrangeův odhad chyby je

Určete maximum ve vzorci.

Alternativa: Zkušený řešič by se toho výsledku zaleknul, protože ví, že přijdou ještě horší věci. Ten první nápad, a = 0, začíná vypadat lépe a lépe. Je tedy pravda, že tam f není definována, ale má v 0 konvergentní limitu. To znamená, že definici této funkce lze rozšířit i na 0 tak, aby vzniklá funkce byla spojitá na celé reálné ose. Zajímavé je, že také f ′ spočítaná výše má konvergentní limitu v 0, tedy ji lze spojitě rozšířit tak, aby definiční obor zahrnoval 0, a dá se ověřit, že takto rozšířená funkce stále funguje coby derivace f (tedy funguje to i v 0). Co je ještě zajímavější, totéž platí pro všechny derivace, které jsme spočítali, včetně těch hnusných dlouhých, a přímo zázračně se konvergence v 0 dostane vždy jediným použitím l'Hospitalova pravidla.

Je tedy možné najít Taylorův polynom s a = 0, jen místo přímého výpočtu derivací je třeba pracovat s limitami výrazů získaných výše. Udělejte to.

Další nápověda
Výsledek