Příklad: Prozkoumejte omezenost a monotonii posloupnosti

Řešení: Zkusíme spočítat několik prvních členů: a₁ = 3 + sin(1), a₂ = 6 + sin(2)/2, a₃ = 9 + sin(3)/3, a₄ = 12 + sin(4)/4. Jak velká jsou tato čísla? Protože |sin(n)| ≤ 1, druhý člen v součtu je v absolutní hodnotě vždy nanejvýš jedna. První sčítanec vypadá, že se vždy zvýší o 3, takže následující člen posloupnosti je vždy větší než předchozí o hodnotu mezi 1 a 5. Proč? Máme a₁ = 3 ± 1, a₂ = 6 ± 1, a₃ = 9 ± 1, a₄ = 12 ± 1, a tak dále. (Dokonce máme například a₄ = 12 ± 1/4, ale snažší - i když méně přesný - odhad stačí.) Co to naznačuje? Za prvé, posloupnost asi jde do nekonečna, tudíž není omezená. Je nicméně asi omezená zdola. Za druhé, jak jsme viděli, sinová část je malá ve srovnání s růstem o tři na každém kroku, takže tato posloupnost je zřejmě rostoucí.

Důkaz omezenosti zdola:
Vždy máme 3n² + sin(n) ≥ 3n² − 1 ≥ 0 pro přirozená čísla n, což dokazuje, že posloupnost splňuje a_n ≥ 0; jinými slovy, je omezená zdola.

Teď ukážeme, že posloupnost jde do nekonečna, tudíž nemůže být omezená shora, tedy ani omezená. Dokážeme to pomocí srovnání, viz např. Přehled Metod - Limita - Srovnání a oscilace.

Důkaz monotonie: Ověříme nerovnost pro rostoucí posloupnost.

Platí tato nerovnost? To v tomto případě není hned jasné, ale zkusme se podívat blíže: Sinus je vždy nejvýše 1, takže můžeme odhadovat

Poslední nerovnost tedy byla pravdivá, proto také platila ta první. Dokázali jsme, že daná posloupnost je rostoucí.

Mohli bychom použít metody z kalkulu funkcí? Zkusíme to. Podíváme se na funkci (viz Teorie - Limita - Posloupnosti a funkce). Najdeme derivaci:

Jako předtím, z omezenosti sinu a kosinu jedničkou odvodíme, že derivace je nejméně 1 pro x ≥ 1. Hlavně to znamená, že je derivace kladná, což znamená, že f je rostoucí na (0,∞). Následně je rostoucí i daná posloupnost.

Poznámka: Zkušený řešič by pracoval raději s výrazem

a_n = 3n + sin(n)/n,

výpočty jsou pak trochu snažší (derivace docela dost).

Zpět na Řešené příklady - Základní vlastnosti