Příklad: Určete periodicitu následující funkce:

Řešení: Vždy začínáme určením definičního oboru. Zde máme dva
problémy. Nejprve tangens vyloučí všechna čísla typu
π/2 + kπ.
Máme také zlomek, jmenovatel nesmí být nula. Proto kosinus nemůže být
−1, tedy čísla (2x) nemohou být
(2k + 1)π, neboli
x nemůže být
π/2 + kπ.
Úžasnou náhodou je tato podmínka stejná jako ta první, to je ale klika.
Definiční obor je tedy všechna reálná čísla bez těch vypsaných výše.
Zpět k periodicitě. Funkce se skládá ze tří složených funkcí spojených
algebraickými operacemi. Nejprve se podíváme na každou složenou funkci.
sin(3x) má periodicitu
(2π)/3,
protože jde o
2π-periodický sinus, u jehož argumentu bylo změněno měřítko (viz
Přehled metod - Reálné funkce -
Transformace).
Druhá funkce, na kterou se podíváme, je cos(2x), která je - ze
stejného důvodu -
π-periodická. Můžeme
dokonce přidat i tu část "+ 1", víme, že posun periodické funkce nezmění její
periodu.
Třetí člen je tg3(x). Tangens je
π-periodický a umocnění na třetí
nemění periodu (když skládáme funkce a vnitřní je periodická, tak to ta
vnější nezkazí, opět viz
Přehled metod - Reálné funkce -
Transformace).
Máme tedy tři funkce, jejichž periodicitu známe, a tyto jsou dány dohromady
dělením a sčítáním. Pravidlo říká, že v této situaci má výsledná funkce
periodu, která je nejmenším společným násobkem period jednotlivých částí. V
našem případě máme periody
2π/3 a
π, hledáme tedy kladné
reálné číslo r takové, že
r/(2π/3) je celé
číslo a
r/π je celé číslo.
Druhá podmínka říká, že r = kπ
pro nějaké přirozené číslo
k, to nejmenší k takové, aby platila rovněž první podmínka, je
2.
Tvrdíme tedy, že T = 2π je periodou dané funkce.
Potvrzení:

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Reálné
funkce