Příklad: Určete konstanty a,b, pro které je následující
funkce spojitá:

Řešení: Protože jak ax, tak vzorec ve třetí
alternativě jsou funkce spojité na svých definičních oborech, vyplávý z toho,
že i daná funkce f je spojitá na otevřených množinách, kde je
definována těmito výrazu. Máme tedy spojitost ve všech bodech kromě 2.
Vidíme, že tato otázka je ve skutečnosti problémem spojitosti v 2. Co tam
potřebujeme? Chceme, aby jednostranné limity existovaly, konvergovaly a byly
rovny f (2) = 8.
Začneme limitou zleva, doleva od 2 je funkce daná výrazem
ax.

Pro spojitost potřebujeme
f (2-) = 8, takže
a2 = 8. Tato rovnice má dvě řešení, plus a mínus
odmocninu z 8, ale protože a má být základem exponenciály, nemůže bát
záporné. Proto určíme a jako plus odmocninu z 8, abychom dostali
spojitost zleva.
Teď se podíváme na spojitost zprava, napravo od 2 je funkce dána tím zlomkem.

Pokud chceme mít vůbec nějakou naději na konvergenci, potřebujeme nějak
zneutralizovat tu nulu ve jmenovateli. Jedna možnost je položit
b = 0, ale pak je celý výraz identicky nula a proto také
f (2+) = 0, takže není možnost z toho dostat 8.
Proto není 0 správnou možností pro b. Další možnost je udělat v limitě
nulový čitatel, což znamená, že by b2 mělo být 4. Jsou dvě
možnosti, b může být −2 nebo 2, a my teď zkusíme, jestli některá z
těchto volem neudělá limitu rovnou 8. Všimněte si, že tyto dvě hodnoty pro
b jsou naší jedinou nadějí na spojitost funkce v bodě 2, a jestli
žádná z nich nevyjde, pak ta funkce prostě nejde udělat spojitá ve 2.
Nejprve zkusíme b = −2.

Tak to nevyšlo. Teď zkusíme b = 2.

Měli jsme štěstí, tohle je ta správná hodnota pro b.
Závěr: Funkce f je spojitá pro hodnoty

Další příklad
Zpět na Řešené příklady - Reálné
funkce