Funkce dané rozpisem

Funkce dané rozpisem (či funkce definované po částech) se objevují docela často, například jediný rozumný způsob, jak zkoumat funkce s absolutní hodnototu, je zbavit se jí rozdělením výrazu na dva případy (či více, pokud tam je absolutních hodnot více). Jak s takovými funkcemi pracujeme?

Základní pravidlo je následující: Každý výraz, který definuje danou funkci na určité množině M, zkoumáme obvyklým způsobem, ale pak musíme omezit naše závěry na onu množinu M. Když toto uděláme se všemi výrazy a množinami, "dáme vzniklé obrázky vedle sebe" a dostaneme obrázek celé funkce. Zase máme dva základní přístupy. Dá se dělat zvlášť kompletní analýza každého výrazu a na konci spojit výsledky. Druhý způsob je kombinovat informace o definujících výrazech v každém kroku. Ukážeme oba přístupy. Vynecháme detaily, pro další informace o jednotlivých krocích viz příslušné sekce v části Přehled metod - Průběh funkce.

Příklad: Načrtněte průběh funkce

f (x) = x³ + |x³| + 3x² - 9x - 3|x| - 45.

Řešení: Definičním oborem je celá reálná osa, funkce je tam spojitá. Než půjdeme dál, zbavíme se absolutní hodnoty.

Jak už jsme psali, máme teď dvě možné strategie.

1. Nakreslíme každý vzorec zvlášť.
To je něco, co ve skutečnosti dělám zřídka, ale u tohoto příkladu je to snadné.

První výraz dává vzhůru orientovanou parabolu. Nejlépe její tvar určíme, když najdeme její kořeny a vrchol. Pro kořeny máme kvadratický vzorec, dostaneme x = −3 a x = 5. Vrchol odpovídá lokálnímu minimu, které najdeme vyřešením rovnice f ′ = 0. Ukáže se, že lokální minimum je bod (1,−48). Můžeme tedy parabolu načrtnout, zajímat nás vlastně bude jen část nad zápornou poloosou, koncový bod je f (0) = −45.

Druhý výraz je kubická křivka. Určíme ji nalezením kořenů a dvou "ohybů". Když zkusíme dosazovat malá celá čísla, brzy uhodneme, že x = 3 je jeden kořen. Vydělíme:

(2x³ + 3x² - 12x - 45) : (x - 3) = 2x² + 9x + 15.

Tento kvadratický výraz nemá kořeny, takže tato kubická křivka jde přes osu x pouze v jednom bodě.

Abychom našli "zatáčky", podíváme se po lokálních extrémech vyřešením rovnice f ′ = 0, zjistíme, že máme lokální maximum v (−2,−24) a lokální minimum v (1,−52). Obrázek dále zpřesníme tím, že najdeme inflexní bod (−1/2,−38−1/2) pomocí druhé derivace. Teď už můžeme kubickou křivku načrtnout, zde budeme potřebovat jen její část nad kladnou poloosou.

Teď dáme obrázky dohromady a dostaneme graf funkce f. Aby byl opravdu dobrý, měli bychom udělat ještě jednu věc: Podíváme se na jednostranné derivace v 0. Dostaneme f ′₊(0) = −12 a f ′_-(0) = −6. To ukazuje, že ve spojovacím bodě máme ostrý záhyb a ne hladké napojení.

Důležité vlastnosti f (monotonie, konvexita) teď odvodíme z vlastností oněch dvou křivek pomocí selského rozumu.

2. Integrace dat krok za krokem.
Tento přístup funguje tak, že děláme všechny kroky najednou pro všechny výrazy z definice funkce. V každém kroku rovnou ignorujeme informace, které sice vyšly z určitého výrazu, ale nejsou relevantní pro f, protože neleží v oblasti, kde dotyčný výraz souhlasí s f. Bývá dobrý nápad takový proces strukturovat, aby si člověk připomněl, že vždy musíme porovnávat výsledky s oblastmi platnosti. Já si obvykle rozdělím reálnou osu na oblasti a udělám odpovídající sloupce, ve kterých pracuji, v každém sloupci používám jen výraz ze záhlaví a vyškrtávám všechny výsledky, které leží mimo dotyčný sloupec.

Abychom tento postup ukázali, vrátíme se k Příkladu. Tam jsme některé kroky dělali snadno v původní formě s absolutní hodnotou. Abychom si ten spojovací postup ukázali v plné obecnosti, budeme ignorovat daný tvar a předstírat, že už je funkce dána od začátku rozpisem:

Začneme definičním oborem. Každý výraz existuje na množině, kde dává f, a tyto množiny se spojí a dají celou reálnou osu, takže to bude definiční obor. Výrazy pro kladnou a zápornou půlku nevypadají podobně, takže máme podezření, že tato funkce není symetrická. Toto podezření potvrdíme tak, že zkusíme dosadit dva symetrické body:

f (1) = −52,     f (−1) = −36.

Všimněte si, že jsme vyškrtli kořen 5, protože nepatří do té části reálné osy, kde pracujeme; jinými slovy, v bodě x = 5 nemá kvadratický výraz, který k němu vedl, nic společného s f.

Teď se podíváme na limity v koncových bodech intervalů definičního oboru a z definice, zase v každém bodě použijeme příslušné vzorce.

Protože také f (0) = −45, funkce je spojitá v 0, ve všech ostatních bodech spojitost vyplývá z definice definujících výrazů na příslušných intervalech. Vidíme také, že nemáme žádné vodorovné asymptoty v nekonečnu a mínus nekonečnu, poslední řádek ukazuje, že nejsou ani šikmé asymptoty.

Další krok je najít derivaci a určit monotonii.

Máme jeden kritický bod, x = 1, a samozřejmě dělící bod x = 0 (kde je to s derivací nejisté, takže je to vlastně také kritický bod), proto máme tři intervaly monotonie.

Ten řádek s (x − 1) jsme tam dali dvakrát, jednou pro derivaci nalevo a jednou pro derivaci napravo, protože jsme chtěli něco zdůraznit, jmenovitě to, že každý faktor derivace se vyhodnocuje (na znaménko) jen v oblastech, kde platí příslušný výraz. V praxi bychom to samozřejmě dali jen jednou. Samozřejmě, v praxi bychom obvykle dostali pro každý výraz různé faktory.

Zpět k tabulce. Vidíme dva sousedící intervaly se stejnou monotonií, dají se spojit? Protože je funkce f spojitá v 0, tak rozhodně dají. Závěr tedy je, že f je klesající na (−∞,1⟩ a rostoucí na ⟨1,∞). Máme lokální extrém, f (1) = −52 je lokální minimum.

Poslední krok je najít druhou derivaci a určit konvexitu.

Nejsou žádné dělící body (kromě automatického x = 0), takže původní dva intervaly budou i intervaly konvexity.

Funkce f je proto konvexní na (−∞,0⟩ a na ⟨0,∞).

Standardní kroky jsou hotovy, zde se ještě také podíváme na jednostranné derivace v 0, abychom správně nakreslili to napojení. Dostaneme f ′₊(0) = −12 a f ′_-(0) = −6. Teď to dáme dohromady.

Nejprve zvolíme měřítko. Protože máme hodnoty jen z rozmezí −3 až 3, dáme rozsah mezi −5 a 5 (abychom měli trochu místa k práci) na ose x. Hodnoty zde kolísají od 0 (průnik s osou x) po −52. Abychom to tam všechno zmáčkli, rozhodli jsme se zmenšit osu y desetkrát v porovnání s osou x.

Pak tam zakreslíme všechny body, které se v jednotlivých krocích objevily, jmenovitě f (−3) = 0, f (0) = −45, f (1) = −52 a f (3) = 0. Nakonec použijeme informaci o monotonii a konvexitě a dostaneme obrázek.

Může pomoci, když zkombinujeme ty dvě tabulky, než kreslíme graf.

Pro další příklady viz tento příklad s funkcí danou rozpisem a tento příklad s absolutní hodnotou v Řešených příkladech - Průběh funkce.

Zpět na Teorie - Průběh funkce