Příklad: Určete všechny asymptoty funkce
Řešení: Nejprve musíme najít definiční obor. Jsou dvě podmínky, druhá
odmocnina vyžaduje x ≥ 0
a zlomek nedovolí, aby byl jmenovatel
nulový, tj. x = 4 není povoleno. Máme tedy
D( f ) = ⟨0,4) ∪ (4,∞).
Teď se podíváme na asymptoty. Existuje jedno místo, kde by mohla být
vodorovná asymptota, a to v nekonečnu. Zjistíme, jak tam vypadá limita, pro
pomoc s limitami viz např.
Limita v části
Funkce - Přehled metod.
Máme vlastní limitu, což ukazuje, že tam máme vodorovnou asymptotu, má
rovnici y = 1. Obecně by v nekonečnu také mohla
být asymptota šikmá, ale protože už tam máme vodorovnou, není šikmá asymptota
možná.
Svislé asymptoty se mohou objevit ve vlastních krajních bodech intervalů
definičního oboru (v našem případě máme kandidáty
x = 0 a x = 4)
a také v bodech nespojitosti, ale daná funkce je
spojitá, takže se takové body neobjeví. Svislé asymptoty se rozhodnou podle
jednostranných limit v podezřelých bodech.
Jednostranná limita v 0 zprava je vlastní, což znamená, že nemáme svislou
asymptotu v x = 0. Na to se ale dalo přijít
i jinak, bez výpočtu, funkce je v 0 definovaná a je tam i spojitá, proto
tam nutně musela mít vlastní limitu. Na druhou stranu máme
nevlastní limitu v bodě 4 (dokonce obě, ale jedna by stačila), takže víme,
že v bodě x = 4 je svislá asymptota.
Nalezené údaje je možné vyjádřit náčrtem.
Další příklad
Zpět na Řešené příklady -
Průběh funkce