Zde použijeme fyziku, abychom zkusili pochopit, proč by mohla být základní
věta integrálního počtu pravdivá.
Nechť f (t) je funkce definovaná na 〈a,b〉.
Použijeme následující
interpretaci:
Představte si, že řídíte auto po dálnici a v čase
t = a minete kilometrovník s číslem
"000". Jedete dál a zapisujete si okamžitou rychlost na tachometru
jako funkci f (t), až po čas
t = b. Jaká je vaše pozice
F(x) v čase
t = x měřená podle kilometrovníků?
Více podrobností o této situaci najdete v
této poznámce v sekci
Úvod k reálným funkcím, je ale třeba upozornit, že abychom tento příklad
dobře připodobnili základní větě, museli jsme přejmenovat funkce. Pozice,
kterou zde značíme F, se v oné poznámce značí r.
Když jedete t hodin konstantní rychlostí v, urazíte
d = vt kilometrů. Toho ale nemůžeme v
našem případě použít, protože rychlost se stále mění. Protože jde o situaci
ze života, dá se předpokládat, že funkce f je "pěkná". To
znamená, že pokud se v nějakém čase t podíváme na opravdu kraťoučký
časový interval dt, rychlost se téměř nemění. Můžeme tedy změnu
polohy ds během časového intervalu dt spočítat jako
f (t) krát dt. Celková změna polohy
(uražená dráha) se dostane sečtením malých změn během všech krátkých
intervalů dt mezi t = a a
t = x:

Teď také vidíme, proč jsme nemohli použít proměnnou x jako integrační
proměnné, když už ji máme jako mez integrálu. Když jedno takové x
zvolíme, potřebujeme ještě pořád možnost se pohybovat v čase během sčítání
malých příspěvků rychlosti, takže potřebujeme ještě jednu proměnnou.
Každopádně jsme právě viděli, že pozice F(x) je
dána tímto integrálem. Protože z fyziky víme, že derivace pozice dává
rychlost, dostaneme F ′ = f a
F je tedy primitivní funkcí k f, přesně jak tvrdila Základní
věta č. 1
Teď si představme, že v čase t = a není
na kilometrovníku "000", ale nějaké jiné číslo. Zase použijeme
F k záznamu pozice měřené pomocí kilometrovníků, například
F(a) udává naši pozici na začátku. Z fyziky víme,
že F je primitivní funkce rychlosti f. Dráhu (ujetou
vzdálenost) mezi časy t = a a
t = b lze spočítat pomocí poziční
funkce F, ale také sečtením příspěvků rychlostí, jak jsme to již
jednou dělali. Tak dostameme

To je přesně Newton-Leibnizova formule.
Tato nerovnost je někdy zapisována takto:

V naší interpretaci to znamená následující: Abychom našli naši pozici v čase
b, začneme s pozicí v čase a a přičteme všechny změny
odpovídající naší okamžité rychlosti mezi časy a a b.