Rozvoj v (sinovou, kosinovou) Fourierovu řadu: Přehled metod
Otázka: Najděte Fourierovu řadu pro funkci
f (t), která je buď
T-periodická nebo zadána na nějakém intervalu typu
⟨a,a + T ).
Najděte součet této řady.
Řešení: Nejprve určete frekvenci
ω = 2π/T
a pak najděte koeficienty vypočtením integrálů

Fourierova řada se pak získá jako

Pokud je f dostatečně pěkná (viz
Jordanovy podmínky),
můžete určit součet výsledné Fourierovy řady. Nejprve nakreslete
T-periodickou funkci f (buď tak byla zadána, nebo
byla dána na vhodném intervalu, pak nakreslete její periodické rozšíření).
Potom v každém bodě nespojitosti zakreslete body na úrovních, které jsou
průměrem hodnot zleva a zprava v tomto bodě. Toto je součet oné Fourierovy
řady.
Poznámka: Koeficient a0 je ve skutečnosti dán stejným
vzorcem jako ostatní ak, takže jsme mohli uvést jen
jeden vzorec. Pro k = 0 se ale kosinus stane
jedničkou a v praxi proto stejně počítáme a0 zvlášť. Je
proto pohodlné si to vydělit coby speciální případ.
Otázka: Najděte sinovou Fourierovu řadu pro funkci
f (t), která je zadána na nějakém intervalu typu
⟨0,L ).
Najděte součet této řady.
Řešení: Sinová řada je zaloena na lichém rozšíření s periodou
T = 2L.
Nejprve určete frekvenci
ω = 2π/T = π/L.
Pak najděte koeficienty bk jako předtím, ale s L
namísto T, položte
a0 a ak rovné nule a napište
řadu přesně jako předtím.
Pokud je f dostatečně pěkná (viz
Jordanovy podmínky),
můžete určit součet výsledné Fourierovy řady. Nejprve nakreslete danou
funkci. Poté rozšiřte tento graf také na interval
(−L,0) takovým způsobem, aby byla výsledná funkce lichá
(překlopte graf okolo obou os). Pak nakreslete
T = 2L-periodické rozšíření této liché funkce a zpracujte
body nespojitosti přesně jako předtím.
Otázka: Najděte kosinovou Fourierovu řadu pro funkci
f (t), která zadána na nějakém intervalu typu
⟨0,L ).
Najděte součet této řady.
Řešení: Kosinová řada je zaloena na lichém rozšíření s periodou
T = 2L.
Nejprve určete frekvenci
ω = 2π/T = π/L.
Pak najděte koeficienty a0 a ak
jako předtím, ale s L namísto T,
položte bk rovny nule a napište řadu
přesně jako předtím.
Pokud je f dostatečně pěkná (viz
Jordanovy podmínky),
můžete určit součet výsledné Fourierovy řady. Nejprve nakreslete danou
funkci. Poté rozšiřte tento graf také na interval
(−L,0) takovým způsobem, aby byla výsledná funkce sudá
(překlopte graf okolo osy y). Pak nakreslete
T = 2L-periodické rozšíření této sudé funkce
a zpracujte body nespojitosti přesně jako předtím.
Často je možné výslednou řadu vylepšit pomocí následujících užitečných
vzorců.

Příklad: Najděte Fourierovu řadu, sinovou Fourierovu řadu a
kosinovou Fourierovu řadu pro funkci

Tuto funkci lze rozšířit na funkci s periodou
T = 4, frekvence je tedy
ω = π/2.
Najdeme koeficienty:

Dostaneme tedy řadu

Všimli jsme si, že v řadě jsou sudé koeficienty rovny nule a liché jsou
rovny −2, takže jsme řadu přepsali příslušným způsobem.
Sinová a kosinová řada mají L = 4,
T = 8 a
ω = π/4. Sinová řada má
ak = 0
a

Sinová Fourierova řada tedy je

Kosinová Fourierova řada má
bk = 0
a

Kosinová Fourierova řada tedy je

Teď určíme součty těchto tří řad. Na následujícím obrázku vidíme šest grafů.
První je periodické rozšíření dané funkce a druhý je součet Fourierovy řady
podle Jordanových podmínek. Třetí graf je liché periodické rozšíření a pak
je tam součet sinové Fourierovy řady. A konečně na pátém grafu je sudé
periodické rozšíření a pak je tam součet kosinové Fourierovy řady.

Všimněte si, že ta Fourierova řada má tvar 1/2
plus sinová řada. Pokud totiž vezmeme periodické rozšíření f a
posuneme jej dolů o 1/2, dostaneme lichou funkci, jejíž
Fourierova řada nutně obsahuje jen siny (je tedy také její sinovou
Fourierovou řadou).
Zpět na Přehled metod - Řady
funkcí