Zde ukážeme, že když máme dvě posloupnosti funkcí,
{ fk} konvergující k nějaké
f na množině M a {gk}
konvergující k nějaké g na množině N (a předpokládáme, že
všechna gk zobrazují N do M), tak
nemůžeme tvrdit, že
{ fk(gk)}
konverguje k f (g), dokonce ani když jsou použité
funkce spojité.
Uvažujme funkce
fk(x) = arctg(k⋅x),
víme, že tvoří konvergentní posloupnost a

Označme tuto limitu jako f.
Uvažujme také funkce
gk(x) = x/k,
snadno se nahlédne, že konvergují ke konstantní funkci
g(x) = 0 na celé reálné ose.
Co můžeme říct o jejich složení? Pro všechna k máme
fk(gk(x)) = arctg(x),
takže
{ fk(gk)}
je konstantní posloupnost funkcí, která konverguje k funkci
arctg(x). Na druhou stranu
f (g) je konstantní funkce
f (g(x)) = f (0) = 0,
takže
{ fk(gk)}
rozhodně nekonverguje k
f (g).