Doplnění na čtverec v kvadratickém výrazu

Problém je jednoduchý: Je-li dán kvadratický výraz ax² + bx + c, budeme jej chtít přepsat do tvaru (Ax + B)² + C. Použijeme základní algebru, jmenovitě víme, že

(Ax + B)² = A²x² + 2Ax + B².

Zkusíme toto přizpůsobit danému kvadratickému výrazu a jediný rozumný způsob je začít od nejvyšší mocniny.

Chceme, aby A²x² bylo totéž jako ax², pak jsou dva případy. Pokud je a záporné, pak to evidentně není možné a necháme si to jako speciální případ, viz níže. Jinak zvolíme jako A druhou odmocninu z a. Dostaneme následující:

Teď potřebujeme, aby se shodoval lineární faktor, což dává rovnici

Teď máme toto:

Mocniny x všechny souhlasí a zbývá zvolit C tak, aby se shodovaly také konstanty na pravé a levé straně, takže

Jednoduchý příklad to vysvětlí nejlépe. Doplníme čtverec ve výrazu x² + 6x + 13.

Případ a < 0: Zde je nutno dopnit čtverec to tvaru C − (Ax + B)². Mohli bychom pro to zase odvodit postup, ale mnohem jednodušší je prostě doplnit čterec v mínus daném výrazu podle algoritmu výše a pak vzít odpověď s mínusem.

Jako příklad doplníme čtverec ve výrazu −4x² + 2x.