Pod odkazem
https://www.youtube.com/playlist?list=PLQL6z4JeTTQlinXTnIn6a69BcYqodChPK
je možno nalézt obohacené záznamy přednášek předmětu DEN (Diferenciální rovnice a numerické metody).
Později vynikla verze anglická, je myslím lepší, ale také trochu delší.
Seznam najdete
zde.
0. Úvod: Poznáváme diferenciální rovnice a numerickou matematiku
[0:00:00] Co je matematické modelování
[0:06:36] ODR a numerická matematika
(0:18)
1. Základy numerické matematiky
a) Otázky numerické matematiky. Chyby, aproximace
[0:00:00] Co očekáváme od numerické matematiky (otázky okolo metod)
[0:10:50] Absolutní a relativní chyba
[0:30:57] Chyba při práci ve floating point
[0:45:37] Šíření chyby ve výpočtech
[1:07:26] Rumpův příklad
[1:14:44] Aproximujeme funkce pomocí Taylorova rozvoje, (asymptotický) odhad chyby
[1:25:36] Asymptotická rovnost, dominance mocnin u nuly, značení O(h p)
(1:46)
1. Základy numerické matematiky
b) Numerické derivování
[0:00:00] Odhad pomocí dopředné diference, jeho chyba.
[0:14:39] Další diference
[0:19:18] Odvozujeme diference pomocí Taylorových rozvojů
[0:37:14] Chyby výpočtu pro diference
[0:43:17] Bonus: Richardsonova extrapolace
(1:02)
1. Základy numerické matematiky
c) Numerické integrování
[0:00:00] Numerická integrace: základní nastavení, obdélníkové metody
[0:13:48] Experimenty
[0:15:18] Lokální a globální chyba
[0:39:13] Relativní chyba, numerická stabilita
[0:42:06] Odvození lokální chyby pomocí Taylorova rozvoje
[0:52:00] Lichoběžníková metoda
[1:13:56] Simpsonova metoda
[1:43:31] Bonus: Další přístupy k numerickému výpočtu integrálu
[1:50:16] Bonus: Řád metody, odhad chyby Richardsonovou extrapolací
(2:06)
2. ODR 1. řádu (analyticky)
a) Řešíme ODR separací
[0:00:00] Úvodní lehký příklad (volný pád), co čekat od diferenciálních rovnic
[0:29:19] Příklad, jak funguje separace
[0:48:03] Separace teoreticky
[1:00:11] Druhý příklad s důležitými triky (stacionární řešení, absolutní hodnota)
[1:12:43] Bonus: Příklad s více možnostmi pro y
[1:29:56] Bonus: Příklad s podmínkami
(1:46)
2. ODR 1. řádu (analyticky)
b) Metoda variace konstanty
[0:04:40] Příklad na variaci
[0:13:27] Variace obecně
(0:24)
2. ODR 1. řádu (analyticky)
c) Analýza řešení ODR
[0:00:00] Úvod, náčrt vektorového pole
[0:23:02] Vektorové pole
[0:27:51] Příklad autonomní rovnice
[0:31:53] Stacionární řešení (ekvilibria) a jejich stabilita
[0:49:28] Bonus: více informací z rovnice
[0:56:15] Peanova věta
[1:01:13] Lipschitzovské funkce, Picardova věta
[1:22:03] Příklady
(1:34)
2. ODR 1. řádu (analyticky)
d) Aplikace ODR
[0:00:00] Exponenciální růst
[0:13:37] Exponenciální růst se sklizní
[0:24:59] Ochlazování (modifikace exponenciálního růstu)
[0:34:27] Logistický růst
[0:53:52] Logistický růst se sklizní
[1:06:10] Vypouštění akvária (Toricelliho zákon)
[1:19:19] Volný pád s odporem vzduchu
(1:30)
2. ODR 1. řádu (analyticky)
e) Bonus: Další metody řešení ODR
[0:00:00] Homogenní rovnice
[0:15:57] Exaktní rovnice
[0:30:02] Druhý příklad exaktní rovnice
[0:38:18] Ještě jeden exaktní příklad s úžasným inverzním trikem
(0:52)
3. ODR 1. řádu numericky
a) Eulerova metoda a obecné pojmy
[0:00:00] Základní nastavení
[0:05:02] Eulerova metoda
[0:26:15] Globální chyba, konvergence metody, lokální chyba
[0:35:41] Lokální chyba pro Eulerovu metodu
[0:44:10] Lokální versus globální chyba metody
[0:50:44] Řád metody
(1:02)
3. ODR 1. řádu numericky
b) Metody Runge-Kutta
[0:00:00] Převod diferenciální rovnice na integrální
[0:06:11] Implicitní Eulerova metoda
[0:24:16] Heunova metoda
[0:32:14] Midpoint (RK2) metoda
[0:43:40] Metody Runge-Kutta
[0:49:22] RK4
[0:58:17] Numerická stabilita
[1:03:58] Praktický odhad chyby, adaptivní krok
[1:18:07] Adaptivní metody, RKF45
[1:28:14] Ještě k numerické stabilitě
(1:38)
3. ODR 1. řádu numericky
c) Další metody (Taylorova, FDM)
[0:00:00] Taylorova metoda
[0:25:09] Metoda konečných diferencí (úvod)
(0:44)
4. Interpolace (numerika)
[0:00:00] Polynomiální interpolace, Lagrangeovy polynomy
[0:33:20] Spliny
(0:42)
5. Lineární ODR (analyticky)
a) Homogenní lineární ODR
[0:00:00] Lineární diferenciální rovnice (existence, jednoznačnost)
[0:04:32] Homogenní rovnice: Věta o struktuře
[0:23:39] Příklad, Wronskián
[0:30:31] Charakteristická čísla a řešení, příklad
[0:58:23] Komplexní charakteristická čísla
[1:15:12] Operátorový pohled
[1:21:04] Bonus: Důkaz pro vícenásobná charakteristická čísla
(1:29)
5. Lineární ODR (analyticky)
b) Nehomogenní lineární ODR (odhad, variace)
[0:00:00] Struktura množiny řešení
[0:10:27] Metoda odhadu
[0:36:38] Příklad s korekcí a kombinovanou pravou stranou, Věta o superpozici
[0:55:30] Pohádka o rezonanci
[1:01:08] Metoda variace konstanty
(1:35)
5. Lineární ODR (analyticky)
c) Bonus: Tabulka pro metodu odhadu
[0:00:00] Tabulka pro metodu odhadu
(0:24)
6. ODR vyššího řádu numericky
[0:00:00] Taylorova metoda
[0:17:48] Metoda konečných diferencí (FDM)
(0:37)
7. Rovnice numericky (kořeny funkcí)
a) Aspekty iteračních metod. Metoda bisekce, Newtonova, sečen
[0:00:00] Existence kořene metodou střelby
[0:04:40] Metoda bisekce
[0:19:18] Pokus o urychlení, rychlost konvergence, řád iterační metody
[0:30:53] Newtonova metoda (metoda tečen)
[0:41:50] Zastavovací podmínky, jednoduchý test správnosti, příklady
[0:48:33] Řád Newtonovy metody, příklad (vícenásobné kořeny, toulání), kombinování metod
[0:59:40] Newtonova metoda prakticky: řád vzhledem k výpočetní náročnosti, výhody
[1:05:11] Aplikace (iterační schémata pro odmocninu a dělení)
[1:15:57] Metoda sečen
[1:33:39] Bonus: Důkaz řádu 2 pro Newtonovu metodu
[1:45:50] Modifikace Newtonovy metody pro vícenásobné kořeny
[1:49:58] Experimentání odhad řádu kořene z Newtonovy metody
[1:56:22] Věta o konvergenci Newtonovy metody
(2:00)
7. Rovnice numericky (kořeny funkcí)
b) Doplňky, další metody (regula falsi, Brent...)
[0:00:00] Obecný trik pro kořeny vyšší násobnosti
[0:06:13] Metoda tečen: pokus o metodu vyššího řádu
[0:08:38] Metoda sečen: pokus o metodu vyššího řádu (inverzní kvadratická interpolace)
[0:18:52] Metoda bisekce: pokus o metodu vyššího řádu (regula falsi, Illinois)
[0:29:28] Moderní metody (Brent, Chandrupatla), praktické porovnání všech metod
(0:48)
7. Rovnice numericky
c) Hledání pevného bodu iterací
[0:00:00] Pevný bod, tvrzení o existenci
[0:06:57] Metoda prosté iterace
[0:12:42] Konvergence: kontrakce, Banachova věta
[0:32:01] Grafická interpretace prosté iterace
[0:46:29] Relaxace pro prostou iteraci
[0:56:41] Souvislost mezi hledáním kořenů a úlohou na pevný bod
[1:03:31] Příklady
(1:24)
8. Soustavy lineárních rovnic numericky
a) Eliminace (GEM, LUP)
[0:00:00] Gaussova eliminace - numerická verze (GEM)
[0:08:40] Chyba metody, numerická stabilita (pivotování)
[0:24:34] Výpočetní náročnost
[0:40:51] Eliminace a řešení soustav, zpětné dosazení
[0:53:53] Výpočet inverzní matice, dolní trojúhelníkové soustavy
[0:55:17] Testování vlivu pivotování
[1:00:56] Residuum, vztah k chybě řešení. Iterativní vylepšování řešení
[1:08:57] Opakované řešení soustav, LUP rozklad (odvození, použití)
(1:34)
8. Soustavy lineárních rovnic numericky
b) Norma matice, chyby, podmíněnost
[0:00:00] Residuum a chyba řešení (připomínka z minula)
[0:04:22] Norma - velikost vektoru, oblíbené normy, konvergence
[0:20:34] Norma matice, oblíbené normy matice
[0:29:32] Souhlasné normy, indukované normy
[0:38:48] Spektrální poloměr
[0:47:34] Vztah chyby řešení a residua, číslo podmíněnosti, dobře a špatně podmíněné matice
[0:57:14] Dopad chyb v eliminaci a číslo podmíněnosti
[1:06:47] Geometrická interpretace podmíněnosti matice
[1:14:07] Číslo podmíněnosti prakticky, závěr
(1:20)
8. Soustavy lineárních rovnic numericky
c) Iterační metody pro soustavy
[0:00:00] Metoda pevného bodu pro matice, iterace a její konvergence
[0:20:37] Jacobiho iterace, porovnání s eliminací
[0:40:15] Gaussova-Seidelova iterace, experimenty
[0:52:59] O konvergenci a některých typech matic (diagonálně dominantní a tak)
[1:12:43] Relaxace
[1:22:51] Experimentální porovnání iterace a eliminace
[1:25:35] Pohádka o Google
(1:33)
9. Soustavy lineárních ODR (analyticky)
a) Homogenní soustavy lineárních ODR
[0:00:00] Úvodní příklad, eliminační přístup
[0:18:44] Převod rovnice na soustavu
[0:26:44] Soustava v maticovém pohledu, struktura řešení pro homogenní případ
[0:36:21] Řešení pomocí vlastních čísel
[0:44:42] Případ komplexních vlastních čísel
[0:56:30] Případ vícenásobných vlastních čísel
[1:10:36] Věta o struktuře řešení
(1:18)
9. Soustavy lineárních ODR (analyticky)
b) Nehomogenní soustavy lineárních ODR
[0:00:00] Metoda variace konstanty: maticová podoba
[0:20:52] Metoda variace: řádková podoba
[0:27:49] Metoda odhadu
[0:37:53] Příklad
(1:02)
9. Soustavy lineárních ODR (analyticky)
c) Analýza řešení soustav ODR
[0:00:00] Vizualizace řešení, orbita neboli trajektorie, vektorové pole
[0:34:31] Stacionární řešení, stabilita
[0:47:23] Rozbor pro homogenní lineární soustavy
[1:06:42] Příklad na RLC obvod
[1:14:11] Klasifikace ekvilibrií
[1:19:13] Stabilita pro nehomogenní soustavy
[1:24:05] Obecné soustavy: linearizace příkladem
[1:40:05] Bonus: Příklad typické homogenní soustavy s podrobnějším rozborem
[1:52:54] Bonus: Příklad netypické homogenní soustavy s podrobnějším rozborem
(2:01)
10. Soustavy ODR 1. řádu numericky
[0:00:00] Runge-Kuttovy metody pro soustavy diferenciálních rovnic
(0:12)
11. Aplikace diferenciálních rovnic
[0:00:00] Modely šíření nemocí (SIS, SIR, SIRS) (soustavy ODR, vektorové pole, orbity)
[0:22:09] Populační dynamika (Lotka-Volterra)
[0:39:30] Oscilační rovnice (matematické a skutečnější kyvadlo, tlumené a nucené kmity)
[0:56:51] Oscilace numericky: Maple, Taylorova metoda a FDM
[1:11:33] Oscilace: kývající se kmity
(1:21)
12. Vlastní čísla a vektory numericky
[0:00:00] Intro, prostá iterace
[0:25:34] Rayleighův kvocient, Rayleighova iterace
[0:44:16] Další vlastní čísla/vektory: posuny a inverze
[1:14:55] Deflační metoda
(1:44)
13. ODR a mocninné řady (analytická řešení)
[0:00:00] Od numerické Taylorovy metody k analytickému řešení
[0:10:02] Opakování: Rozvoj funkce v mocninnou řadu
[0:35:29] Pracujeme s mocninnými řadami
[0:59:24] Řešíme ODR rozvojem řešení v řadu
[1:07:55] Dva příklady
(1:32)
14. Transformace (analytická řešení ODR)
a) Řady jako transformace. Co jsou transformace
[0:00:00] Co je transformace, příklady
[0:10:44] Transformace formálně, logaritmy
[0:26:23] Mocninná transformace (neoficiální)
[0:41:25] Příklad
(0:59)
14. Transformace (analytická řešení ODR)
b) Fourierova transformace
[0:00:00] Základní schéma pro vyjádření funkce pomocí sinů a kosinů
[0:09:39] Fourierovy řady
[0:21:56] Fourierovy řady a skalární součin
[0:31:20] Příklady, Gibbsův jev
[0:45:21] Sinová a cosinová řada
[0:56:03] Aplikace: Frekvenční analýza, mp3, otisky prstů
[1:06:04] Komplexní tvar, Fourierova transformace
[1:19:43] Fourierova transformace jako soubor pravidel
(1:28)
14. Transformace (analytická řešení ODR)
c) Laplaceova transformace
[0:00:00] Definice, příklady, značení
[0:20:47] Heavisideova funkce, slovníček
[0:26:58] Gramatika
[0:50:54] Inverzní Laplaceova transformace
[0:58:25] ODR řešená Laplaceovou transformací, porovnání s klasickými metodami
[1:14:14] Integrálně-diferenciální rovnice Laplaceovou transformací i klasicky
(1:25)
14. Transformace (analytická řešení ODR)
d) Laplaceova transformace a konečné signály
[0:00:00] Konečné signály a Heavisideova funkce, Laplaceova transformace
[0:28:22] ODR řešená Laplaceovou transformací i klasicky
[0:48:03] Soustava ODR řešená Laplaceovou transformací
[0:53:28] Periodické funkce a Laplaceova transformace
[1:05:33] Laplaceova transformace a Maple
(1:25)
15. Parciální diferenciální rovnice (analyticky i numericky)
[0:00:00] Co říkají parciální derivace, Laplaceův operátor jako vliv prostředí
[0:09:42] Lineární PDR řádu 2
[0:11:37] Eliptické rovnice
[0:18:25] Parabolické rovnice (vedení tepla)
[0:24:37] Hyperbolické rovnice (vlnová rovnice)
[0:34:00] Analytické řešení eliptické rovnice na kruhu
[0:46:56] Diskretizace parciálních diferenciálních rovnic
[0:52:03] FDM (metoda konečných diferencí) a rovnice vedení tepla
[1:08:20] FDM a vlnová rovnice
[1:17:58] FDM a eliptická rovnice
(1:32)