(4 x y[x])/(1 + x^2) + y^′[x] 1/(1 + x^2)

Jsou dány funkce

g[x] = (4 x)/(1 + x^2)   f[x] = 1/(1 + x^2)

kterým odpovídá nehomogenní rovnice

(4 x y[x])/(1 + x^2) + y^′[x] 1/(1 + x^2)

a homogenní rovnice,

(4 x y[x])/(1 + x^2) + y^′[x] 0

kterou vyřešíme (Viz Homogenní lineární diferenciální rovnice 1. řádu)

y [x] = K/(1 + x^2)^2 h

a její řešení po záměně K za K[x] vezmeme za řešení nehomogenní rovnice,

y [x] = K[x]/(1 + x^2)^2 p

které dosadíme za y[x] do nehomogenní rovnice. Získáme tím novou rovnici s novou neznámou funkcí K[x],

K^′[x]/(1 + x^2)^21/(1 + x^2)

ze které vyjádříme K'[x],

K'[x]=1 + x^2

které zintegrujeme.

K[x]=C + x + x^3/3, CϵR

Zde je potom řešení nehomogenní (tj. zadané) rovnice.

y[x]= (C + x + x^3/3)/(1 + x^2)^2, CϵR

Created by Mathematica  (March 28, 2006)