Zde ukážeme, že funkce
![](gif4/ecc44aa.gif)
je rostoucí na intervalu
M = (0,2〉.
Začneme pozorováním, že
žádnou monotonii nevidíme přímo. Protože je cos(t) klesající a
tk rostoucí na M, je tam podíl
cos(t)/tk klesající. Takovéto členy jsou v
našem g s plusy i mínusy a víme, že rozdíl dvou klesajících funkcí
může být jakýkoliv, klesající, rostoucí nebo třeba vůbec nebýt monotonní; a
navíc jsou tam ještě členy se sinem, což ukazuje, že tento přístup nikam
nevede. Zdá se, že nějaký jiný algebraický přístup není, takže to zkusíme
tradičním způsobem přes derivaci.
![](gif4/ecc44ab.gif)
Je nemožné vyřešit g′ = 0 algebraicky, jedinou šancí je
najít alespoň přibližná řešení numericky, ale i to by bylo dost trikové a
obtížné. Musíme se tedy uchýlit k nestandardní taktice a trikům. Klíčovým je
zde to, že vlastně tu rovnici nepotřebujeme řešit, potřebujeme jen ukázat,
že g′ > 0 na M. Začneme tím, že si tuto derivaci
přepíšeme na společný jmenovatel.
![](gif4/ecc44ac.gif)
Protože je jmenovatel kladný stačí dokázat, že i čitatel h je kladný
na M. A zase, dělat to nějak algebraicky se zdá nemožné, takže
zkusíme vyšetřit, jak h jde; aplikujeme zde standardní přístup.
Nejprve najdeme jeho derivaci a zde se stane malý zázrak. Každý člen se
derivuje pomocí součinového pravidla a vzniknou dva členy. Úžasnou náhodou
se sousední členy vykrátí a celý dlouhý výraz (celkem 15 členů) zkolabuje.
Ověřte, že
h′(t) = t7sin(t).
Tohle je na M kladné, takže sama h je tam rostoucí. Proto
je rozsah jejích hodnot určen hodnotami v koncových bodech.
![](gif4/ecc44ad.gif)
Vidíme, že na M jsou hodnoty h mezi 0 a 31, což mimo jiné
značí, že h musí být kladné a důkaz je hotov.
Abychom ukázali, jak jednotlivé kusy této skládačky do sebe zapadají,
tak tady stručně rekonstruujeme celý řetěz úvah.
![](gif4/ecc44ae.gif)