Chceme dokázat, že

Na to musíme ukázat, že umíme vyhrát tu hru z definice.

Předpokládejme, že je dáno kladné ε. Potřebujeme najít přirozené číslo N takové, že pro všechna n ≥ N máme |a_n − 1| < ε, to jest

|(n+1)/n − 1| < ε.

To je ale nerovnost a můžeme tedy zkusit zjistit, pro která kladná celá čísla n platí:

Absolutní hodnotu jsme mohli vynechat, protože pro kladné n je ten zlomek také kladný. Dostali jsme nerovnost popisující, kdy žádaná nerovnost funguje, a naštěstí pro nás je to nerovnost typu "funguje to, pokud je n dostatečně velké". Jinými slovy se to přesně hodí do naší situace.

Teď tedy můžeme najít "bod odříznutí" N: Vybereme pro něj první přirozené číslo, které jde po 1/ε. Vyhráli jsme hru?

Našli jsme bod odříznutí. Je to ten správný? Jestliže n ≥ N, pak z N > 1/ε máme také n > 1/ε. Protože předchozí úpravy fungují oběma směry, máme také následně pro tyto n nerovnost |a_n − 1| < ε, přesně jak to potřebujeme.