Čím to je, že když vybíráme body z grafu sinu či kosinu pomocí vzorce sin(n) či cos(n), tak nikdy nedostaneme pravidelný vzorec?

Toto chování je způsobeno tím, že vzdálenost mezi body je celé číslo, zatímco délka periody je iracionální číslo. Pokud by byly vzdálenost a perioda souměřitelné, přesně řečeno, pokud by jejich podíl byl racionální, dostali bychom periodicitu.

Jako jednoduchý příklad tohoto chování se podíváme na posloupnost {cos(nπ/2)}. Vzdálenost mezi body je teď π/2, což je souměřitelné s periodou 2π (jejich vzájemný podíl je 4 nebo 1/4, každopádně racionální číslo).

Vidíme, že máme periodicitu, jmenovitě posloupnost jde {1, 0, −1, 0, 1, 0, −1,...}. Mimochodem, tato posloupnost zachovává vlastnosti kosinu: Je omezená, není monotonní, diverguje.

Pokud zkusíme {cos(2nπ)}, pak zase v posloupnosti dostaneme periodicitu, protože vzájemný podíl vzdálenosti bodů a periody je 1, což je racionální číslo. Tentokrát posloupnost jde {1, 1, 1, 1,...}, je monotonní a konverguje k 1. Je to tedy pěkný příklad toho, jak se dají vlastnosti funkce "vylepšit" chytrým výběrem bodů z grafu.

Závěr: Jestliže je podíl periody sinu/kosinu a kroku, se kterým jsou body brány, racionální číslo, pak je výsledná posloupnost periodická a může být velmi pěkná. Pokud je tento podíl iracionální (například posloupnosti jako {sin(n)}, {sin(−3n)}, {cos(6n)} atd.), pak výsledná posloupnost není periodická, není monotonní, nemá limitu a neustále osciluje v největším možném rozsahu, neboli se stále znovu a znovu přibližuje jak blízko chceme k −1 a 1.