Krácení ve zlomcích

Asi nejpopulárnější mýtus ohledně limit je tento: Když se snažíme najít limitu racionální funkce (podílu polynomů), pomůže vykrátit menší z dominantních členů.

Ne že by toto "pravidlo" bylo zcela špatně. Když jsou dominantní členy čitatele a jmenovatele stejné, pak krácení je nejsnažší zpúsob, jak najít limitu.

Příklad:

Zde je n² dominantou v čitateli i jmenovateli, takže můžeme najít limitu vykrácením n² (tj. vydělit jím čitatel i jmenovatel).

Krátké a snadné, že? Ověřte, že kdybychom chtěli tento příklad řešit vytknutím dominantních členú, byl by to vlastně stejný postup, jen trochu delší na psaní.

Při troše štěstí toto pravidlo "vykrať menší dominantu" pomůže i u jiných příkladů:

Příklad:

Zde je n² dominantním členem v čitateli a n⁴ je dominantní člen ve jmenovateli. Vykrátíme n², ten menší z nich:

Měli jsme štěstí a doastali jsme odpověď. Proč mluvíme o štěstí? Malá změna v příkladu způsobí, že tato metoda selže:

Příklad:

Pořád máme n² jako dominantní člen v čitateli a n⁴ jako dominantní člen ve jmenovateli, takže zkusíme vykrátitn²:

Vidíme, že metoda "vykrať menší z dominantních členů" selhala, protože vedla na neurčitý výraz.

Metoda vytknutí nicméně stále pracuje:

Možná vás ten příklad přivedl na myšlenku, že by se měla krátit větší dominanta, jmenovitě n⁴, protože u tohoto příkladu to opravdu pomůže:

Bohužel, ani toto se nedá brát jako obecné pravidlo, protože v mnoha případech selže.

Příklad:

Teď je n⁴ dominantním členem v čitateli a n² je dominantním členem ve jmenovateli. Co se stane, když vykrátíme ten větší, n⁴?

Výraz 1/0 je neurčitý (nemůžeme automaticky psát nekonečno!, viz neurčité výrazy). Pokud nezjistíme, jaký typ nuly máme ve jmenovateli, nemůžeme dělat žádné závěry. Zde se dá ukázat, že máme zápornou nulu, a 1/0^- = −∞.

Ověřte si vytknutím, že −∞ je správná odpověď. Mimochodem, krácení menší dominantou n² by zde také nepomohlo (zkuste to).

Co se tímto vším snažíme říct? Námi doporučená metoda vytýkání je spolehlivá. pokud jsou dominantní členy stejné, krácení také funguje, a je jednodušší na psaní. Když se dominantní členy nerovnají, tak krácení menšího či většího může občas pomoci, ale také často selže. Zkušenost by měla naznačit, kdy je krácení vhodné, ale když si nejste jisti, vytknutí dominantních členů je vždy nejjistější cesta.

Mimochodem, toto platí nejen o racionálních funkcích, tj. podílech polynomů, ale také o podílech součtů "dalších výrazů" jako 2ⁿ, faktoriál atd.