Co se stane, když čelíme neurčitému součinu
∞⋅0, ta
"0" není
jednostranná, a když jsme zkusili "dát nekonečno dolů", nepomohlo to?
Protože |0| = 0+, neurčitý součin
∞⋅|0|
může být řešen obvyklou cestou a teď můžeme zkusit dát část
"0|" do jmenovatele. To
může samozřejmě také selhat, takové příklady pak musí být řešeny
individuálně.
Buďme tedy optimističtí a předpokládejme, že jsme vyhodnotili verzi
∞⋅|0| (tj. dali
jsme tu část posloupnosti, která dává nulu, do absolutní hodnoty) a zjistili
jsme, že má limitu L (vlastní či nevlastní). Jaký závěr můžeme udělat
o původním příkladu?
To, že část "0" nebyla jednostranná, znamená, že ta posloupnost konvergující
k nule stále měnila znaménko, aniž by se pro jedno nakonec rozhodla. Když se
tedy verze
∞⋅|0|
dostává opravdu blízko k L, původní výraz
∞⋅0 je někdy blízko k
L, ale někdy také blízko k -L, a stále skáče od L k
-L bez toho, aby se pro jeden rozhodl. To by vám mělo připomenout
problém s oscilací. Takový problém zabraňuje limitě, aby existovala, leda že
by velikost oscilace byla nulová, neboli L byla nula.
Závěr: Jestliže L = 0, pak původní posloupnost také
konverguje k nule. Jestliže L není nula (například pokud je
nekonečné), pak původní posloupnost nemá limitu.