Proč nemůžeme dosadit jen do části výrazu?

Uvažujme následující příklad. "Standardním" způsobem spočítáme

Nicméně druhý člen v čitateli nevyžaduje žádnou práci, víme rovnou, kolik vyjde. Proč bychom tedy nemohli dosadit do něj nekonečno a spočítat zbytek později?

Možná to tady nevypadá jako nějaké velké zjednodušení, ale v některých příkladech by takovýto trik mohl ušetřit spoustu práce; co je ještě zajímavější, druhé řešení evidentně vede ke stejné odpovědi. Je v tom háček, prostě jsme jen měli štěstí. Uvažujme tento příklad.

Víme, že

(Viz Cvičení - Jednoduché limity.)

Pokud ale dosadíme nekonečno do základu mocniny, dostaneme jinou odpověď:

To ukazuje, že dosazení jen do části není spolehlivé. Možná máte pocit, že problém je někde jinde, například v tom, že 1^∞ je neurčitý výraz, jak jsme tedy mohli psát 1ⁿ = 1? Ve skutečnosti je tohle naprosto v pořádku. Nekonečna se dostanou do hry pouze v případě, když hledáme výsledek limity, pak také aplikujeme algebru limit; věci, které se dějí uvnitř limity, před jejím vyhodnocením, jsou čistá "obyčejná" algebra. Nejsou tam žádná nekonečna, jen číslo 1 umocněné na jiné číslo n, výsledek je proto zcela správně 1.

Tak dobře, když už tedy to, co jsme udělali, bylo špatně, dá se nějak poznat, kdy by určité "částečné dosazení" nekonečna fungovalo? Ano. Můžeme dosadit jen do části výrazu v případě, že jsme schopni tuto část izolovat algebraicky od zbytku a napsat ji jako samostatnou limitu pomocí věty o limitě a operacích, pak spočítat všechny takto vzniklé limity, a když se jejich výsledky dají dohromady, má to smysl. To o "smyslu" je podstatné, rozhoduje to o tom, zda částečné dosazení uspěje. V prvním příkladě je taková separace úspěšná:

V druhém příkladě nefunguje:

Tato separace tedy nedala odpověď a není také jiný způsob, jak nějak algebraicky oddělit člen 2/(n + 1) od zbytku; proto není možné vyhodnotit tento zlomek samostatně.

Po pravdě řečeno, v případech, kdy se daná posloupnost skládá z "pěkné" části a komplikované části vyžadující další výpočet, zde v Math Tutoru doporučujeme oddělit tuto pěknou část a udělat ji zvlášť; jen se to musí udělat pořádně, tj. rozložit výraz na jednotlivé limity a pak dát jejich výsledky dohromady.

Poznámka: Někdy není třeba čekat na dopočítání všech limit, abychom viděli, jestli separace uspěje. Víme, že úspěch závisí na tom, jestli výraz, který dostaneme na konci, je definován. To často víme předem už po výpočtu jedné části. Například v prvním příkladě máme součin dvou limit a ta první dává jedničku. Protože není žádný neurčitý součin s jedničkou, víme, že ať už ta druhá limita vyjde jakkoliv, vždy budeme moci dát to dohromady s jedničkou a dostaneme odpověď. Proto lze tu první limitu spočítat rovnou a neopisovat ji dále, věnovat se jen té druhé. Jinými slovy, částečné dosazení může zlobit jen tehdy, jestliže by mohly potenciálně vzniknout neurčité výrazy.

Podívejme se na další příklad. Protože pro n > 1 máme n² > n, máme také 1/n > 1/n² a proto

Když nicméně zkusíme nejprve dosadit jen za 1/n, dostaneme jiný výsledek.

A opravdu, výpočet pomocí rozkladu na "menší limity" selže:

Možná máte pocit, že tento příklad je poněkud umělý, že by vás něco takového ani nenapadlo udělat. Zde je tedy jiný, možná rozumnější.

Víme nicméně, že zlomek 1/n v první odmocnině jde k nule, takže se nezdá, že by hrál roli. Když jej zkusíme ignorovat (tedy dosadit do něj nekonečno a dostat nulu), dostaneme stejnou odpověď.

A opravdu, můžeme zkusit oddělit 1/n do samostatné limity a vyjde to:

Stačí ale malá změna v příkladu a "částečné dosazení" bude špatně:

Tato odpověď není správná, jak ukáže správný výpočet:

Zase, kdybychom zkusili rozdělit tento výraz na spoustu malých limit, jejich výsledky by se nedaly dohromady tak, aby vznikla odpověď, jasné znamení, že "částečné dosazení" je mimo hru.

Jaké je tedy ponaučení z tohoto příběhu? Že dosazování nekonečna jen do části výrazu je něco, co obecně nefunguje, takže byste to neměli dělat. Co funguje dobře je zkusit oddělit tuto část do samostatné limity, spočítat všechny limity, které při tom vzniknou, a jestli jejich výsledky dají odpověď, pak je to dobře. Pokud to tak napíšete, nikdo vám nemůže říct, že to není dobře.

Jak jsme už viděli, jediný problém by mohl nastat s neurčitými výrazy. To je přirozené, výsledek neurčitého výrazu je velice delikátní věc závisející na jemné rovnováze členů ve výrazu, takže když tam něco změníme, může to být smrtelné. Všimli jsme si, že někdy se dá vidět rovnou, že separace uspěje, a to v případě, že výsledek oddělené limity nemůže vést na neurčitý výraz. To je velmi užitečné a často to používáme.