Jak rozkládat kvadratické polynomy odhadem

Je-li dán kvadratický polynom x2 + px + q, chceme jej rozložit, tj. chceme jej napsat jako

x2 + px + q = (x − a)(x − b).

Teorie říká, že toto je možné, jen pokud má daný kvadratický polynom reálné kořeny, pak ony konstanty a,b jsou přesně ty kořeny (můžeme mít a = b). To ukazuje jeden způsob rozkladu, použije se kvadratický vzorec k nalezení kořenů a pak napíšeme rozklad (nebo usoudíme, že kořeny nejsou a proto není rozklad možný). Tento způsob je spolehlivý a vždy funguje, takže na něm není nic špatného.

Někteří lidé jsou nicméně příliš líní na to, aby blbli s kořeny a výpočty, raději rozklady odhadují. Hádání má jednu ohromnou výhodu: Pokud se povede, obvykle je to rychlé a snadné. Velká nevýhoda je, že funguje jen zřídka, pouze pokud kořeny existují a jsou to relativně malá celá čísla. Z matematického pohledu to znamená, že hádání v zásadě nikdy nefunguje. Z pohledu studenta to ale není tak špatné, protože problémy řešené ve škole nejsou opravdu reprezentativní pro "skutečné" problémy, ale speciální příklady připravené učiteli. Často se proto stane, že kořeny jsou pěkná malá celá čísla a hádání rozkladu vyloženě září.

Jak to funguje? Pokud roznásobíme tu rovnici nahoře, uvidíme, jaké podmínky musí splňovat neznámé konstanty a,b (což jsou vlastně neznámé kořeny):

x2 + px + q = x2 − (a + b)x + (ab).

Podmínky tedy jsou ab = q a a + b = −p, ta první je mnohem důležitější. Pokud doufáme, že kořeny jsou celá čísla, pak musí dohromady dát q. Jinými slovy, když se podíváme na všechny možné způsoby, jak zapsat q coby součin dvou celých čísel, získáme seznam kandidátů na a a b. Abychom tento list zkrátili, všimneme si, že stačí uvažovat jen polovinu takového seznamu, protože násobení je komutativní. Když tedy prohodíme a a b, tak vlastně jen prohazujeme lineární členy v rozkladu, což vede po roznásobení k témuž:

(x − a)(x − b) = (x − b)(x − a).

Proto budeme vždy vynechávat třeba kandidátské dvojice s |b| < |a|, protože tyto páry už jsou v seznamu v opačném pořadí.

Příklad: Jací jsou kandidáti pro rozklad x2 + x − 2?

Řešení: Jestliže jsou celé kořeny a,b tohoto polynomu, pak musí splňovat ab = −2. Jsou pouze dvě možnosti:

1. a = 1, b = −2;
2. a = −1, b = 2.

Jak jsme poznamenali, není nutné uvažovat další dvě možnosti, a = 2, b = −1 a a = 2, b = −1.

Dobře, máme tedy kandidáty, jak poznáme, který z nich je správný? Jsou dva způsoby. Správný pár musí splňovat rovnici a + b = −p, takže vyzkoušíme, který z nich to je. Další způsob je vůbec si tuto druhou podmínku nepamatovat, ale prostě zkusit roznásobit všechny kandidáty a uvidí se, která varianta dá daný kvadratický polynom. To zní jako spousta práce, ale není tomu tak a většinu jde udělat z hlavy. Proč je tomu tak? Když násobíme, tak nás pouze zajímá, kolik dostaneme x-ů, protože absolutní člen určitě vyjde (tak jsme to udělali, použili jsme q k nalezení kandidátů) a x2 taky vyjde. Jediné, co je otevřené, je lineární člen, takže se prostě u všech kandidátů podíváme, kolik dají x. Vyberte si, jakou metodu máte raději, my zde ukážeme obě.

Příklad: Najděte rozklad x2 + x − 2.

Řešení: Našli jsme dva kandidáty:

1. a = 1, b = −2;
2. a = −1, b = 2.

Metoda 1: Druhá podmínka je a + b = −1. Vidíme, že ten první pár vyhovuje, takže to musí být ten správny. Dostaneme kořeny 1,−2 a rozklad

x2 + x − 2 = (x − 1)(x − (−2)) = (x − 1)(x + 2).

Metoda 2: Podíváme se, kolik x dostaneme z obou možných rozkladů po roznásobení:

1. (x − 1)(x + 2) = ...+ x +...
2. (x + 1)(x − 2) = ...− x +...

Vidíme, že první rozklad je ten správný.

 

Někdy je kandidátů více.

Příklad: Najděte rozklad x2 + 8x + 12.

Řešení: Neznáme kořeny a,b musí splňovat ab = 12. Možné rozklady 12 jsou

12 = 1⋅12 = 2⋅6 = 3⋅4.

Zase jsme psali jen páry s větším prvním číslem (či rovným - ne zde, ale obecně). Kladné číslo jde dostat buď násobením dvou kladných nebo dvou záporných čísel, takže pro každý pár vlastně máme dvojici párů kandidátů. Proto dostáváme

1. a = 1, b = 12;
2. a = −1, b = −12;
3. a = 2, b = 6;
4. a = −2, b = −6;
5. a = 3, b = 4;
6. a = −3, b = −4.

Abychom zjistili, který z párů je ten správný, tak buď ověříme, který vyhovuje rovnici a + b = −8, nebo se podíváme, kolik x příslušné rozklady dávají:

1. (x − 1)(x − 12) = ...− 13x +...
2. (x + 1)(x + 12) = ...+ 13x +...
3. (x − 2)(x − 6) = ...− 8x +...
4. (x + 2)(x + 6) = ...+ 8x +...

A máme vítěze, správný rozklad je

x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)

odpovídající kořenům −2,−6.

 

Jaké problémy mohou nastat? Ten evidentní je, že polynom nemá reálné kořeny, nebo je má, ale nejsou to pěkná celá čísla.

Příklad: Najděte rozklad x2 − 2x − 10.

Řešení: Neznáme kořeny a,b musí splňovat ab = −10. Možné rozklady 10 jsou

10 = 1⋅10 = 2⋅5.

Zase jsme psali jen páry s prvním číslem menším (či rovným - ne zde, ale obecně). Záporné číslo lze získat násobením kladného a záporného čísla a máme volbu, jakým způsobem ta znaménka rozdělíme, pro každý součin tedy dostaneme dvě dvojice kandidátů:

1. a = 1, b = −10;
2. a = −1, b = 10;
3. a = 2, b = −5;
4. a = −2, b = 5.

Je teď snadné ověřit, že žádný z párů nesplňuje rovnici a + b = 2, tentýž závěr se dostane metodou roznásobení:

1. (x − 1)(x + 10) = ...+ 9x +...
2. (x + 1)(x − 10) = ...− 9x +...
3. (x − 2)(x + 5) = ...+ 3x +...
4. (x + 2)(x − 5) = ...− 3x +...

Z toho vyplývá, že tento kvadratický polynom nelze rozložit pomocí celých čísel, takže buď není možný žádný rozklad, nebo používá a,b, která nejsou celá čísla. Kvadratický vzorec ukáže, že jde o ten druhý případ, kořeny jsou iracionální.

 

Je ještě jeden možný problém. Může se stát, že celočíselné kořeny a proto i "pěkný" rozklad existují, ale seznam kandidátů je tak dlouhý, že je prostě snažší použít kvadratický vzorec, než se jimi probírat.

Příklad: Najděte rozklad x2 − 42x + 360.

Řešení: Neznámé kořeny a,b musí splňovat ab = 360. Možné rozklady 360 jsou

360 = 1⋅360 = 2⋅180 = 3⋅120 = 4⋅90 = 5⋅72 = 6⋅60 = 8⋅45 = 9⋅40 = 10⋅36 = 12⋅30 = 15⋅24 = 18⋅20.

Pro každý rozklad musíme uvažovat dva plusy nebo dva mínusy, což znamená, že máme 24 kandidátů na rozklad. Ten správný může být hned ten první, pak bychom to měli hned, ale také ten poslední nebo třeba žádný, a já se rozhodně necítím na 24 výpočtů. Zdá se mnohem snažší použít kvadratický vzorec a zjistit, že v tomto případě máme rozklad

x2 − 42x + 360 = (x − 12)(x − 30)

odpovídající kořenům 12, 30. Mimochodem, tohle je 19. kandidát v tom seznamu.

Tenhle problém vlastně není tak špatný, jak se zdá, protože víme, že hledaná čísla se musí sečíst do 42. Většina kandidátů je na první pohled mimo, takže není třeba zkoumat všechny páry, ale jen ty, které mají na pohled nějakou šanci dát dohromady 42. Zkušený "hadač" by rychle proletěl pohledem seznam rozkladů a vybral řekněme 4 kandidáty pro další zkoumání. To samozřejmě zcela problém neřeší, tohle byl ještě pěkný příklad. Je snadné napsat kvadratický polynom, kde budou stovky rozkladů, a jen napsat stručný jejich seznam je zcela mimo mísu.

 

Poznámka: Někteří lidé (například já) dávají přednost mírné modifikaci předchozího postupu. Namísto onoho obecného rozkladu jako nahoře to zapíšeme takto:

x2 + px + q = (x + a)(x + b).

Jediný rozdíl je ve znaménku, pro některé lidi to je takto snažší. Namísto kořenů pak hledáme "mínus kořeny", ale to není problém.

Příklad: Najděte rozklad x2 − 5x + 4.

Řešení: Chceme mít x2 − 5x + 4 = (x + a)(x + b). Neznámé konstanty a,b musí splňovat ab = 4. Možné rozklady 4 jsou

4 = 1⋅4 = 2⋅2.

Zase jsme vypsali jen páry s prvním číslem menším (nebo rovným). Kladné číslo lze dostat vynásobením dvou kladných nebo dvou záporných čísel, takže pro každý pár dostaneme dva páry kandidátů. Máme proto:

1. a = 1, b = 4;
2. a = −1, b = −4;
3. a = 2, b = 2;
4. a = −2, b = −2.

Teď zkusíme rozklady:

1. (x + 1)(x + 4) = ...+ 5x +...
2. (x − 1)(x − 4) = ...− 5x +...

A máme vítěze, správný rozklad je

x2 − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4),

odpovídající kořeny (pozor na znaménko) jsou 1, 4.