Úhly

Nejpopulárnější jednotka pro měření úhlu je stupeň. Máme 360 stupňů v plném kruhu, 90 stupňů je pravý úhel. Jsou v zásadě dva způsoby, jak specifikovat úhel mezi dvěma paprsky.

1. Pokud jsou paprsky stejně důležité, dostaneme neorientovaný úhel (například mezi stranami trojúhelníka). Jsou-li dány dva paprsky, vždy bereme ten menší úhel, změříme jej a vyjádříme odpověď jako kladné číslo (nebo nula).

2. Pokud je jeden paprsek určitým způsobem speciální (například osa x souřadnicového systému), pak obvykle používáme orientovaný úhel, braný kladně proti směru hodinových ručiček (směrem k ose y) a záporně ve směru hodinových ručiček.

Vidíme, že tentýž úhel lze specifikovat několika způsoby, dokonce nekonečně mnoha způsoby, protože v této situaci můžeme obejít počátek dokola několikrát, pokaždé přibude plný kruh (360 stupňů) a můžeme jít i opačným směrem.

Stupně jsou "praktické". Lidé je používají při práci s geometrickými objekty, počítání vzdáleností a úhlů "ve skutečném světě" a v podobných situacích. Protože odpovídají směrům na kompasu, dobře si s nimi rozumíme. V těchto situacích také často používáme neorientovaný úhel.

Na druhou stranu ve vědách, hlavně v matematice, (téměř) vždy používáme orientovaný úhel a dáváme přednost jiné jednotce: radiánu.

Radiány

Je-li dán úhel, dostaneme jeho velikost v radiánech tak, že vydělíme délku oblouky poloměrem.

To je jedna z velkých výhod radiánu, protože v situacích jako na obrázku hravě spočítáme délku oblouku coby (úhel)⋅(poloměr). To je docela užitečné v teoretických výpočtech.

Plný úhel je (obvod)/(poloměr), tedy plný úhel je 2π. Podobně snadno spočítáme (nebo odhadneme) ony čtyři důležité úhly:

Vztah mezi stupni a radiány je lineární, takže máme jednoduché transformační vzorce:

Asi nejpopulárnější úhly jsou tyto:

Proč jsou populární? π/2 je pravý úhel, jeho důležitost je snad jasná. Úhly π/4 a π/6 representují polovinu a třetinu pravého úhlu, objevují se docela často. A konečně π/3 je přesně úhel, který se objevuje v rovnostranném trojúhelníku.

Poznamenejme, že když uvažujeme pravoúhlý trojúhelník s dalším úhlem π/3, tak ten třetí úhel musí být π/6. Další zajímavý fakt, rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník má další dva úhly rovny π/4. Zdálo by se tedy, že se tyto úhly objevují v geometrii docela často.

Přičítáním/odečítáním pravých úhlů dostaneme celou "růžici kompasu":

Goniometrické funkce a stupně/radiány

Protože jsou tyto dvě jednotky svázány lineárně, můžeme je pro měření používat obě bez nějakých problémů. Věci se ale změní, když tato měření použijeme ve výpočtech. Obzvláště opatrní musíme být, když dosazujeme úhly do goniometrických funkcí. Tabulky řekněme sinu jsou rozdílné pro úhly měřené ve stupních a úhly měřené v radiánech. Například pokud máme sinus, který očekává radiány, dostaneme sin(π/2) = 1. Když do něj ale dosadíme 90, tento sinus si bude myslet, že je to 90 radiánů, což je něco jako 14 krát kolem počátku (2π se do 90 vejde 14 krát) a ještě pořád nějakých 2.035 radiánů zbude, takže dostaneme

sin(90) = sin(2.035rad) = 0.8939.

Pro 90 stupňů potřebujeme jiný sinus, takový, který očekává stupně. Toto je ostatně docela populární zdroj chyb ve výpočtech, když student zapne přepnout kalkulačku na stupně (či radiány, cokoliv je zrovna potřeba).

Proto jsou "sinus ve stupních" a "sinus v radiánech" dvě zcela rozdílné funkce. V matematice, fyzice a dalších vědách potřebujeme přesné specifikace, a tak bylo už dávno rozhodnuto držet se radiánů. Jak jsme poznamenali, radiány jsou lepší pro vědecké výpočty, takže to má smysl, a navíc to dává pěknější vzorce, například pro derivaci máme [sin(x)]′ = cos(x). Kdybychom zderivovali "sinus ve stupních", dostaneme jiný (a ne tak pěkný) vzorec!

Abychom to shrnuli, pamatujte, že v kalkulu žerou všechny goniometrické funkce zásadně radiány.