Chceme dokázat, že
f (x) = 2x − 1 konverguje k
5 pro x jdoucí k 3. Musíme proto ukázat, že můžeme vyhrát hru z
definice.
Předpokládejme, že je nám dáno kladné
ε. Potřebujeme najít
δ > 0 tak, aby když
0 < |x − 3| < δ,
pak | f (x) − 5| < ε.
Typický přístup je podívat se blíže na nerovnost, kterou se snažíme dokázat,
a nějak do ní dostat výraz |x − 3|. Zde je to docela snadné.
| f (x) − 5| < ε
|(2x − 1) − 5| < ε
|2x − 6| < ε
|2(x − 3)| < ε
2|x − 3| < ε
|x − 3| < ε/2.
Všimněte si, že všechny operace byly evivalentní, takže i první a poslední
řádek jsou ekvivalentní. Teď si to zkusíme promyslet. Chceme, aby platil
první řádek, a co dělat umíme je udělat |x − 3| jak malé chceme
správnou volbou
δ. Teď se zdá jasné, co
máme dělat: Zvolíme
δ = ε/2.
To udělat můžeme, protože ε bylo dáno na začátku, sice neznáme jeho hodnotu, ale bylo pevně dáno
a proto jej můžeme použít.
Teď ověříme, že to, co jsme udělali, naplňuje požadavek definice. Někdo nám
dal libovolné
ε > 0
(to "libovolné" je zde klíčové, udělali jsme to pro všechny epsilony, ne jen
jedno pěkné). Rozhodli jsme se zvolit
δ = ε/2.
Je to to pravé delta?
Ověříme to. Každé x, které splňuje
0 < |x − 3| < δ, pak
také splňuje
|x − 3| < ε/2 a tedy
(obrácením předchozího výpočtu)
| f (x) − 5| < ε,
přesně jak je třeba, vyhráli jsme hru.
Důkaz je hotov.