Chceme dokázat, že f (x) = 2x − 1 konverguje k 5 pro x jdoucí k 3. Musíme proto ukázat, že můžeme vyhrát hru z definice.

Předpokládejme, že je nám dáno kladné ε. Potřebujeme najít δ > 0 tak, aby když 0 < |x − 3| < δ, pak f (x) − 5| < ε.

Typický přístup je podívat se blíže na nerovnost, kterou se snažíme dokázat, a nějak do ní dostat výraz |x − 3|. Zde je to docela snadné.

f (x) − 5| < ε
|(2x − 1) − 5| < ε
|2x − 6| < ε
|2(x − 3)| < ε
2|x − 3| < ε
|x − 3| < ε/2.

Všimněte si, že všechny operace byly evivalentní, takže i první a poslední řádek jsou ekvivalentní. Teď si to zkusíme promyslet. Chceme, aby platil první řádek, a co dělat umíme je udělat |x − 3| jak malé chceme správnou volbou δ. Teď se zdá jasné, co máme dělat: Zvolíme δ = ε/2. To udělat můžeme, protože ε bylo dáno na začátku, sice neznáme jeho hodnotu, ale bylo pevně dáno a proto jej můžeme použít.

Teď ověříme, že to, co jsme udělali, naplňuje požadavek definice. Někdo nám dal libovolné ε > 0 (to "libovolné" je zde klíčové, udělali jsme to pro všechny epsilony, ne jen jedno pěkné). Rozhodli jsme se zvolit δ = ε/2. Je to to pravé delta? Ověříme to. Každé x, které splňuje 0 < |x − 3| < δ, pak také splňuje |x − 3| < ε/2 a tedy (obrácením předchozího výpočtu) f (x) − 5| < ε, přesně jak je třeba, vyhráli jsme hru.

Důkaz je hotov.