Polynomy v nekonečnu

Asi nejpopulárnější mýtus ohledně limit v nekonečnu je tento: Když hledáme limitu racionální funkce (podíl polynomů), pomůže vykrátit menší z dominantních členů.

Toto "pravidlo" není zcela špatně. Když jsou dominantní členy čitatele a jmenovatele stejné, pak je krácení nejkratší cestou k získání limity.

Příklad:

Zde je x² dominantou v čitateli i jmenovateli, takže limitu najdeme vykrácením x² (tj. vydělíme tím čitatel i jmenovatel).

To bylo pěkné, že? Vyzkoušejte si, že řešení tohoto problému vytknutím dominantních členů je vlastně tentýž postup, jen trochu delší na psaní.

S trochou štěstí zabere pravidlo "vykrať menší dominantu" také u jiných příkladů:

Příklad:

Zde je x² dominantním členem v čitateli a x⁴ je dominantním členem ve jmenovateli. Zkusíme vykrátit ten menší, x²:

Měli jsme štěstí a dostali jsme výsledek. Proč mluvíme o štěstí? Stačí malá změna v příkladu a metoda selže:

Příklad:

Stále máme x² jako dominantní člen v čitateli a x⁴ jako dominantní člen ve jmenovateli, takže zkusíme vykrátit x²:

Vidíme, že metoda "vykrať menší dominantu" selhala, vedla na neurčitý výraz.

Metoda vytýkání nicméně stále funguje:

Možná byste si na základě tohoto příkladu mohli myslet, že by se měl krátit ten větší z dominantních členů, protože tady krácení x⁴ zrovna pomůže:

Bohužel, ani tohle nelze brát jako univerzální pravidlo, protože v mnoha případech selhává.

Příklad:

Teď je x⁴ dominantním členem čitatele a x² dominantním členem jmenovatele. Co se stane, když zkrátíme ten větší?

Výraz 1/0 je neurčitý (nemůžeme jej automaticky položit roven nekonečnu!, viz neurčité výrazy). Pokud se nám nepodaří zjistit, jaký typ nuly je ve jmenovateli, nemůžeme udělat žádný závěr. Zde se dá mimochodem ukázat, že tam máme mínusovou nulu, a platí 1/0^-=−∞.

Ověřte vytknutím, že −∞ je opravdu správná odpověď. Mimochodem, zkrácení menší dominanty x² by tady také nezabralo (zkuste to) a vykrácení kompromisního x³ také nepomůže.

Jaká je tedy pointa tohoto vyprávění? Metoda vytýkání, kterou jsme doporučili, je spolehlivá. Pokud jsou obě dominanty stejné, pak také funguje krácení a je o trochu snažší na psaní. Když se dominanty nerovnají, pak krácení té menší nebo té větší občas pomůže, ale také často selže. Zkušenost může naznačit, kdy je krácení vhodné, ale když si nejste jisti, pak je vytýkání dominant a jejich následné porovnání vždy spolehlivou cestou.

Mimochodem, tohle platí nejen o racionálních funkcích, tj. podílech polynomů, ale také o podílech součtů "dalších výrazů" jako 2^x, faktoriál atd.