Rozdělování limit aneb Proč nemůžeme dosadit pouze do části výrazu

Jedním z oblíbených triků je rozdělit danou limitu na několik částí a spočítat každou z nich zvlášť. To je obzvláště užitečné, pokud máme limitu s "pěknou" částí a obtížnější částí, pak rádi počítáme tu pěknou část rovnou, třeba takto:

Tento problém by se měl řešit l'Hospitalovým pravidlem a to je rozhodně jednodušší v té zjednodušené situaci.

Teď se podívejte na tento příklad:

Zde může být lákavé zkusit podobný zjednodušující trik. Například ta část 1/x pod odmocninou je prakticky nula, takže ji můžeme spočítat zvlášť, "dosadit" do ní nekonečno, a pak udělat zbytek.

To bylo rozhodně snažší, ale evidentně špatně. Proč bylo v prvním příkladě "částečné dosazení" dobře, zatímco ve druhém ne?

Ve skutečnosti není nikdy dobře dosadit jen do části výrazu v limitě. Pokud chceme počítat jen část, musíme se pokusit rozdělit výraz na několik individuálních limit pomocí vět o limitě a operacích. V prvním příkladě bychom to udělali takto:

Teď už v první limitě můžeme dosadit, protože tam dosazujeme do celého výrazu v oné dotyčné limitě. Co se stane ve druhém příkladě? Zkusíme totéž, musíme rozdělit limitu na spoustu menších tak, aby jedna z nich obsahovala pouze 1/x:

Zdá se, že to funguje, kde je tedy rozdíl? V tom, co přijde hned poté. Připomeňme, že rovnosti ve větách o limitě a operacích jsou "podmíněné"; jinými slovy, my nevíme, zda je možné limitu takto rozdělit, dokud nedokončíme všechny výpočty a dává to smysl. Co víme o prvním příkladě? Tam jsme skončili s polovinou jisté limity. Ať už tato druhá limita dopadne jakkoliv, když to vynásobíme půlkou, vždy dostaneme něco rozumného. Jinými slovy, není žádný neurčitý součin, ve kterém by vystupovala 1/2.

Ve druhém příkladě je situace dost rozdílná, protože nemůžeme zaručit, že nevznikne neurčitý výraz. A on tam dokonce bude:

Tento rozdíl je klíčový. Pokud chceme spočítat jen část daného výrazu v limitě, musíme tu část nejprve izolovat do její vlastní limity. Pak spočítáme zbytek a dáváme pozor na neurčité výrazy. Někdy rovnou vidíme, že žádný neurčitý výraz nevznikne. Nejtypičtější případy jsou tyto (předpokládejme, že f má v a vlastní limitu A):

Proč tomu tak je? Jediný neurčitý výraz v součtu/rozdílu je rozdíl nekonečen, což se zde nemůže stát, protože víme, že A je vlastní. Co se týče součinu, neurčitý výraz je nula krát nekonečno. Můžeme tedy s jistotou rozdělit, jestliže víme, že se toto nemůže stát, tj. pokud A není nekonečno ani nula.

Tuto poznámku zakončíme ještě jedním příkladem. Připomeňme, že pro libovolné reálné číslo c máme

Bylo by tedy chybou udělat "částečné dosazení" takto:

Kde je ten háček?

a 1 je neurčitý výraz.