Uvažujme Dirichletovu funkci

Připomeňme, že našim nedokonalým očím se tato funkce jeví jako dvě přímky,

ale ve skutečnosti se tyto přímky skládají z nekonečně mnoha teček s nekonečně mnoha mezerami mezi nimi. Pro detaily viz Funkce - Teorie - Elementární funkce - Dirichletova funkce.

Tvrdíme, že tato podivná funkce není integrovatelná na žádném uzavřeném intervalu. Uvažujme čísla a < b. Dokážeme, že f není Riemannovsky integrovatelná na ⟨a,b⟩.

Opravdu, zvolme libovolné dělení P intervalu ⟨a,b⟩. Teď se podívejme na některý z úseků ⟨x_k−1,x_k⟩, kde k = 1,...,N.
Protože jsou racionální čísla hustá, musí být uvnitř ⟨x_k−1,x_k⟩ nějaké racionální číslo a proto M_k = 1.
Podobně protože jsou iracionální čísla hustá, musí být uvnitř ⟨x_k−1,x_k⟩ iracionální číslo a proto m_k = 0.

Následně

Toto platí pro libovolné dělení P, takže

a funkce není Riemannovsky integrovatelná na ⟨a,b⟩.