Věta (Základní věta integrálního počtu 2)
Nechť f je funkce na
Věta (Základní věta integrálního počtu 2)
Nechť f je funkce na⟨a,b⟩. Předpokládejme, že f je Riemannovsky integrovatelná na⟨a,b⟩ a že má primitivní funkci F na⟨a,b⟩. Pak
Stručně řečeno, tato věta říká, že když má funkce jak Riemannův, tak Newtonúv integrál, pak tyto musí být spojeny Newton-Leibnizovou formulí. Všimněte si, že Riemannovská a Newtonovská integrabilita v této obecné verzi je méně omezující předpoklad než spojitost, kterou jsme požadovali v hlavním textu, takže tato verze je obecnější a tedy i silnější. V konkrétních případech ale stejně nakonec používáme spojitost, protože je to nejjednodušší přístup a většinou stejně pracujeme se spojitými funkcemi.
Podobně je i první verze Základní věty integrálního počtu z hlavního textu pravdivá obecněji:
Věta (Základní věta integrálního počtu 1)
Nechť f je Riemannovsky integrovatelná funkce na⟨a,b⟩, nechť c leží v⟨a,b⟩. Pro x z⟨a,b⟩ definujeme
Pak je F spojitá na
(a,b), má derivaci zprava ve všech bodech⟨a,b) a derivaci zleva ve všech bodech z(a,b⟩. Navíc
a pro všechny x z
(a,b) máme
Připomeňme, že například
