Příklad: Vypočítejte (pokud konverguje)

Řešení: Jeden problém vidíme hned, a to mínus nekonečno. Když pak zkontrolujeme jmenovatel, najdeme další dva problémy. Jeden z nich, x = 1, není v integračním intervalu, a tak ho můžeme ignorovat. Druhým kořenem je −1 a to je druhý problém v našem integrálu. Musíme tedy daný integrál rozdělit na tři nevlastní integrály základního typu. Začneme integrovat v mínus nekonečnu, ale protože tím už jeden problém máme, musíme skončit dřív, než dorazíme do −1. Například −2 vypadá jako pěkné číslo k zastavení. Druhý integrál tedy půjde od −2 do −1 (má pak jeden problém u horní meze) a třetí integrál půjde od −1 do 0 (jeden problém u dolní meze).

Teď najdeme primitivní funkci pomocí rozkladu na parciální zlomky.

Všimněte si, jak jsme dali logaritmy dohromady, abychom pak mohli aplikovat limitu na jeden celý výraz. Teď je čas spočítat ty tři integrály, problémovým bodům se vyhneme limitou:

Takže ten první konverguje.

Tento integrál diverguje, a tak odpověď zní, že daný integrál diverguje, ta třetí část už to nezmění.

Existuje daný integrál? Na to potřebujeme spočítat i tu třetí čast.

Teď všechny části porovnáme a vidíme, že máme opačná nekonečna, takže daný integrál dokonce ani neexistuje.

Poznámky:
1. Dá se dokázat, že to mínus nekonečno má stejnou "velikost" jako to kladné nekonečno u druhého integrálu. Jak jsme ale poznamenali, tyto nekonečna se nepokrátí ve smyslu, že by se celý integrál stal konvergentním. Jakmile je část oblasti nějaká divná, je ta oblast prostě divná.

2. Obvyklou chybou je zapomenout zkontrolovat, jestli nejsou problémy uvnitř integračního intervalu. U tohoto příkladu by tato chyba vedla k závěru, že daný integrál je základního typu a dá se rovnou spočítat:

Jak už víme, tato odpověď je nesprávná. Všimněte si, že pokud student provede tento chybný výpočet, pak z výsledku nedokáže rozpoznat, že udělal chybu. Protože funkce je jak kladná, tak záporná, klidně by se mohlo stát, že části nad a pod osou x mají konvergentní obsahy stejné velikosti, takže se pokrátí. Je tedy opravdu velice důležité podívat se u každého určitého integrálu po problémech, než jej začneme počítat.

3. Pokud bychom nedali logaritmy dohromady, rychle bychom se dostali do problémů:

Jak už jsme poznamenali, tento problém jsme si udělali sami a nemá nic společného s konvergencí daného integrálu.