Příklad: Rozhodněte, zda tento integrál konverguje:
Řešení:
Ověříme, že máme jen jeden problém, dolní mez vede k nule ve jmenovateli.
Máme tedy nevlastní integrál základního typu a můžeme aplikovat testy
konvergence. Nejprve zkusíme jednodušší Srovnávací kritérium. Všimněte si, že
na integračním intervalu je daná funkce záporná, takže musíme použít
absolutní hodnoty. Pro
Dostali jsme rozumnou nerovnost, takže se teď podíváme na testovací integrál. To je lehké, pamatujeme si škálu mocnin, a tak víme, že konverguje (ověřte, že je roven 2). Následně, protože daný integrál by měl být menší, musí být také konvergentní (a jeho absolutní hodnota nesmí překročit hodnotu 2).
Měli jsme štěstí, že to šlo tak lehce vyřešit Srovnávacím kritériem. Abychom se
procvičili, zkusíme teď použít Limitní srovnávací kritérium. Nejprve určíme
nejvhodnější testovací funkci tím, že ignorujeme ty části f, které
nejsou rovny nule pro
Tento odhad musí být ověřen:
Funkce jsou si tedy opravdu v zásadě rovny blízko bodu 0 (zprava). Protože testovací integrál konverguje, podle Limitního srovnávacího kritéria konverguje také daný integrál.