Více o objemu

Uvažujme těleso v trojrozměrné prostoru:

Abychom našli jeho objem, použijeme oblíbeného triku s řezy. Zvolme nějaké x a uvažujme tam maličký interval velikosti dx. Když se podíváme na body tělesa, jejichž x-ová souřadnice padne do tohoto intervalíku, dostaneme velice tenký plátek. Tento plátek je tak tenký, že můžeme ignorovat zakřivení jeho okrajů a představovat si jej jako objekt vyříznutý z listu papíru, což znamená, že jeho objem najdeme jako jeho obsah vynásobený tloušťkou dx.

Pokud sečteme všechny tyto objemy, dostaneme celý objem. Samozřejmě stačí sečíst jen řezy, které prochází tělesem. Matematicky, pro každé x řízneme těleso rovinou kolmou na osu x a protínající ji právě v bodě x. Předpokládejme, že umíme najít obsah tohoto řezu, označíme jej A(x). Pak A(x)dx dává objem plátku, sečtením získáme celé těleso. Abychom věděli, kde sčítat, budeme předpokládat, že A(x) je nenulové pouze pro hodnoty x mezi a a b. Pak

Toto je samozřejmě ještě daleko od nalezení zcela obecné procedury k nalezení objemu. Tento vzorec funguje jen pro dostatečně pěkná tělesa, pak dokážeme najít obsahy A(x).

Dodejme ještě, že lze samozřejmě také řezat rovinami kolmými na ostatní osy, pak integrujeme vzhledem k příslušným souřadnicím. Dokonce ani nemusí být dotyčné roviny kolmé, stačí jen, aby byly všechny rovnoběžné, občas se hodí řezat šikmo.


Zpět na Teorie - Aplikace