Uvažujme těleso ve třírozměrném prostoru. Pro každé x označíme jako
Objem tělesa je pak roven
Příklad: Uvažujme jehlan, jehož základnou je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délky 3 a 4 a jehož výška je 6.
Najděte jeho objem.
Řešení: Protože máme tolik informací o základně, budeme asi řezat jehlan ve směru rovnoběžném se základnou a pokusíme se najít obsahy řezů. Abychom správně postavili problém, umístíme jehlan v prostoru tak, aby byl jeho vrchol v počátku a základna aby byla kolmá na osu x. Poznamenejme, že často se těleso umístí tak, aby počátek ležel v základně, ale v tomto příkladě budeme používat podobnost - umístění, které jsme zvolili, pak povede k jednodušším vzorcům.
Pokud teď seřízneme jehlan rovinou kolmou na osu x, bude řez paralelní se základnou, rovněž průniky této roviny s jednotlivými stranami jehlanu budou rovnoběžné se stranami základny. Můžeme tedy použít podobnost trojúhelníků.
Z obrázku snadno nahlédneme, že
Pro obsah řezu pak dostaneme (díky pravému úhlu na správném místě)
Následně
Všimněte si, že odpověď nezávisela na přesné pozici vrcholu nad základnou, jediná relevantní informace byla jeho výška. Všechny následující jehlany budou tedy mít stejný objem.
Podobným způsobem lze dokázat následující:
Fakt
Nechť R je rovinná oblast o obsahu A. Pak má jehlan se
základnou R a výškou h objem rovný