Uvažujme kladné číslo T. Budeme se soustředit na interval
〈0,T ).
Jestliže chceme, aby siny a kosiny dobře pasovaly na tento interval, tak je
musíme zmáčknout či roztáhnout ve vodorovném směru, aby jejich periody měly
délku srovnatelnou s T. Snadno se nahlédne, že faktor určující
správné měřítko zkreslení je přesně číslo
ω = 2π/T.
Pak totiž máme následující obrázek.
Když do argumentu uvedem celé číslo k, tak zase u obou funkcí měníme
vodorovné měřítko, ale protože teď už je faktorem celé číslo, tak si
nezkazíme to pasování.
Když pracujeme s takovými funkcemi, tak většinou hned použijeme substituci,
která je převede zpět na přirozený interval
〈0,2π〉.
Například jeden užitečný fakt o těchto funkcích se dokáže takto:
Tato substituce jde oběma směry a bez problémů převádí situaci
〈0,T )
na přirozenou situaci
〈0,2π〉
a zpět. Stačí tedy vlastně umět pracovat s 2π-periodickými
funkcemi a ostatní případy se na ně převedou pomocí substituce. Z toho důvodu někteří
autoři představují Fourierovy řady jen pro tuto přirozenou situaci. Protože
to zas není tolik práce navíc, rozhodli jsme se to udělat obecně, abychom
čtenáře ušetřili těch převodů.