Zde ukážeme nejtypičtější situace pro rozvoj funkce v mocninnou řadu. Budeme je řešit krok za krokem, vždy pro všechny najednou.

Následující funkce chceme rozvinout se středem 3. Základní funkce/řada je vždy jasná, takže jdeme rovnou na Krok 2:

Poznamenejme, že značit substituci, jak jsme to dělali, není zvykem. Rozhodli jsme se tu ukázat víc detailů, protože se tu učíme, ale normálně ten popis vynecháme a rovnou napíšeme výsledek substituce.

Krok 3: V případě exponenciály je třeba spojit dvě řady, jednu opravdu nekonečnou, jednu konečnou. To se udělá oddělením překrývajících se členů z té první.
U sinového a kosinového příkladu vždy jen přesuneme členy, které jsou před řadami, do nich; všimněte si, že u kosinového příkladu nejde ty dvě řady spojit, protože v první jsou jen liché mocniny a v druhé jen sudé. Vlastně by se to jako jedna řada zapsat dalo, ale bylo by to tak násilné a hnusné, že lidé dávají přednost nechat to v tom ne zrovna správném tvaru.

Krok 4: První tři rozvoje jsou platné pro všechna y, proto také pro všechna reálná x. V posledním případě jsme použili geometrickou řadu, kde je rozvoj platný, právě když | y| < 1. To se snadno převede na nerovnost s x.