Dlouhou dobu byla teoretickým základem matematiky Cantorova teorie množin. Jeden z jeho axiomů říkal, že jakákoliv logická podmínka, ve které se objevuje prvek, již určuje množinu,m jmenovitě množinu všech prvků, které tuto podmínku splňují. Co může být na tomto nápadu špatně? Uvažujme následující množinu. Můžeme ji vytvořit v libovolném vesmíru, například ve světě reálných čísel.

A = {a reálné číslo; aA}.

Jaké jsou prvky této množiny? Vezměme libovolné reálné číslo a a zkusme rozhodnout, zda do patří či nepatří do A. Pokud do A patří, pak podmínka v definici této množiny není spněna, takže by to vlastně v A být nemělo. Ale když v této množině není, pak je ta podmínka splněna a prvek by měl být v A.

Tento logický začarovaný kruh ukazuje, že nejsme schopni rozhodnout, jaké má tato množiny prvky. Tohle je onen slavný Russellův paradox (z roku 1901), který znamenal konec intuitivní (či naivní) teorie množin. Pokud se chceme takovýmto problémům vyhnout, tak evidentně musíme být opatrnější při definování množin. Byla vyvinuta rigorózní teorie množin, která rozumně omezuje, které definice je možné použít (ono je těch teorií množin vlastně víc, každá se snaží svým způsobem zabránit paradoxům). Tohle je samozřejmě zcela mimo obzor Math Tutora.