S celými čísly žijeme tak dlouho, že už většinou ani necítíme, že je podstatný rozdíl mezi kladnými celými čísly, nulou a zápornými celými čísly. Přirozená čísla jsou v jistém slova smyslu "skutečné" objekty, vyjadřují, kolik částí vidíte v nějakém celku, a také nulu lze takto interpretovat. Jde tady o abstrakci, ale o velmi jednoduchou. Na druhou stranu, na co ukážete, když chcete vysvětlit, co je "−3"? Dá se to vysvětlit, ale už to není tak jednoduché. Rozhodně je zde rozdíl, však také mezi "objevem" přirozených čísel a zápornými čísly proběhlo mnoho tisíc let.

Teď si představte, že znáte jen přirozená čísla a snažíte se vyřešit rovnici a + x = 0. Abyste to dokázali pro jedno určité a, potřebovali byste prvek, který nemáte. Matematický pohled na věc je, že jej sice nemáme "skutečný", ale můžeme jej zavést jako prvek abstraktní, nazvaný (−a), jehož definující vlastností je, že splňuje a + (−a) = 0. Když to uděláme pro všechna přirozená čísla a, dostaneme množinu abstraktních objektů, jejichž jedinou vlastností (zatím) je ta, která je definuje. Můžeme vytvořit množinu sestávající z nuly, všech přirozených čísel a a všech jejich inverzí (−a).

Máme tedy množinu, ale nevíme, jak s ní pracovat, například nevíme, jak sčítat, když se do toho připlete nějaký ten nový abstraktní prvek. Matematik tedy potřebuje udělat ještě další krok, jmenovitě definovat, jak se sečtou dva abstraktní prvky a jak sčítat stará dobrá přirozená čísla s těmi novými. Vlastně bychom to mohli udělat, jak nás napadne, ale pak by ty operace nejspíše neměly žádné pěkné vlastnosti a tudíž by byly na nic. Přirozeně se tedy budeme snažit definovat operace tak, aby dobře zapadaly s tím, co už máme. Například když máme dva abstraktní inverzní prvky (−a) a (−b), tak výsledek (−a) + (−b) definujeme jako inverzní prvek k přirozenému číslu a + b. Podobnou práci musíme udělat pro násobení.

Když ty definice zavedeme, tak je nutné ověřit, že mají smysl (že se tímto způsobem nedá dojít k navzájem odporujícím výsledkům), a také dokázat, že "nové sčítání" a "nové násobení" mají všechny vlastnosti, ve které jsme doufali (komutativita atd). Protože jsme jako inspiraci použili naše zkušenosti se zápornými čísly, dá se očekávat, že všechno bude fungovat, ale všechny důkazy musí být provedeny bez odkazů na "obvyklá záporná celá čísla", jen za pomocí definice. A když to uděláme, je ještě třeba zapracovat na "porovnávání" tím, že definujeme a prozkoumáme nerovnost.

Hlavní myšlenka tedy je, že když děláme správnou a korektní definici celých čísel, tak se musíme tvářit, že jsme v životě neslyšeli o věcech jako −3. V tomto případě to možná vypadá jako zbytečné plýtvání časem, ale je to obecný postup, který přijde vhod při práci s objekty, které už se představují špatně, například při definici komplexních čísel. Každé rozšíření, z celých čísel na racionální, z racionálních čísel na reálná, z reálných na komplexní atd se dělá tímto způsobem.

Je tu ještě jedna důležitá věc. Všimněte si, že jsme celá čísla vytvořili tak, abychom uměli řešit rovnici a + x = 0 pro přirozená čísla a. Může se ale stát, že když jako a vezmeme nějaké záporné celé číslo, tak už rovnici a + x = 0 nebudeme schopni vyřešit. Naštěstí pro nás se to nestane, ale i to je třeba dokázat. Opravdu tady doufáme, že to bude fungovat, protože jinak bychom museli přidat další abstraktní prvky a tak dostat větší množinu, což by se mohlo opakovat do nekonečna. To je zase něco, co se musí ověřit u všech rozšíření. Danou množinu zvětšíme tak, abychom uměli ve staré množině vyřešit jistou rovnici, ale vždycky máme štěstí, že tu rovnici také umíme řešit i v množině nové.