S celými čísly žijeme tak dlouho, že už většinou ani necítíme, že je podstatný rozdíl mezi kladnými celými čísly, nulou a zápornými celými čísly. Přirozená čísla jsou v jistém slova smyslu "skutečné" objekty, vyjadřují, kolik částí vidíte v nějakém celku, a také nulu lze takto interpretovat. Jde tady o abstrakci, ale o velmi jednoduchou. Na druhou stranu, na co ukážete, když chcete vysvětlit, co je "−3"? Dá se to vysvětlit, ale už to není tak jednoduché. Rozhodně je zde rozdíl, však také mezi "objevem" přirozených čísel a zápornými čísly proběhlo mnoho tisíc let.
Teď si představte, že znáte jen přirozená čísla a snažíte se vyřešit rovnici
Máme tedy množinu, ale nevíme, jak s ní pracovat, například nevíme, jak
sčítat, když se do toho připlete nějaký ten nový abstraktní prvek. Matematik
tedy potřebuje udělat ještě další krok, jmenovitě definovat, jak se sečtou
dva abstraktní prvky a jak sčítat stará dobrá přirozená čísla s těmi novými.
Vlastně bychom to mohli udělat, jak nás napadne, ale pak by ty operace
nejspíše neměly žádné pěkné vlastnosti a tudíž by byly na nic. Přirozeně se
tedy budeme snažit definovat operace tak, aby dobře zapadaly s tím, co už
máme. Například když máme dva abstraktní inverzní prvky
Když ty definice zavedeme, tak je nutné ověřit, že mají smysl (že se tímto způsobem nedá dojít k navzájem odporujícím výsledkům), a také dokázat, že "nové sčítání" a "nové násobení" mají všechny vlastnosti, ve které jsme doufali (komutativita atd). Protože jsme jako inspiraci použili naše zkušenosti se zápornými čísly, dá se očekávat, že všechno bude fungovat, ale všechny důkazy musí být provedeny bez odkazů na "obvyklá záporná celá čísla", jen za pomocí definice. A když to uděláme, je ještě třeba zapracovat na "porovnávání" tím, že definujeme a prozkoumáme nerovnost.
Hlavní myšlenka tedy je, že když děláme správnou a korektní definici celých
čísel, tak se musíme tvářit, že jsme v životě neslyšeli o věcech jako
Je tu ještě jedna důležitá věc. Všimněte si, že jsme celá čísla vytvořili
tak, abychom uměli řešit rovnici