Zde dokážeme následující tvrzení.

Nechť f, g jsou reálné funkce. Jestliže jsou liché, pak je f⋅g sudá funkce.

Víme, že přeloženo do formální logiky jde o výrok

Pro každou reálnou funkci f a pro každou reálnou funkci g:
Jestliže ( f je lichá a g je lichá), pak f ⋅g je sudá.

Jako obvykle obecný kvantifikátor znamená, že si máme vzít libovolné dvě reálné funkce f, g, o kterých ještě nic nevíme, a potřebujeme ukázat, že pro ně platí ona implikace. Zkusíme přímý důkaz, takže teď také budeme předpokládat, že jsou obě funkce liché a uvidíme, jestli je jejich součin h = f ⋅g sudá funkce. Jak to ukážeme? Obvykle je dobré začít definicí.

Jak poznáme, zda je nějaká funkce h sudá? Vezmeme si nějaké x z jejího definičního oboru (libovolné! v definici sudé funkce je obecný kvantifikátor), pak dosadíme -x do h a koukáme, co se stane. Pokud po úpravách dojdeme zpět k h(x), máme sudou funkci. Teď to aplikujeme na h = f ⋅g. Je vlastně vůbec číslo -x v definičním oboru? Ano, je. Definiční obor f ⋅g je dán jako průnik definičních oborů f a g, takže x je v D( f ) a také v D(g). Ale obě funkce jsou symetrické, tudíž i -x musí ležet v jejich definičních oborech, leží proto v jejich průniku, což je definiční obor součinu. Můžeme tedy do h dosadit -x. Matematik si musí všechny tyto věci ohlídat a ujistit se, že v argumentu není žádný skrytý problém.

Takže už víme, že můžeme dosadit. Co víme o h(−x)? Podle definice součinu funkcí je to f (−x)⋅g(−x), máme nějakou informaci o f a g aplikovaném na -x? Vlastně ano, teď můžeme použít předpoklad o lichosti těchto funkcí. To vypadá slibně, zkusíme výpočet dokončit:

h(−x) = f (−x)⋅g(−x) = [−f (x)]⋅[−g(x)] = f (x)⋅g(x) = h(x).

Právě jsme ukázali, že pro všechna x z D(h) máme h(−x) = h(x), což podle definice ukazuje, že h je sudá funkce. Protože f a g v našem argumentu byly libovolné funkce, dané tvrzení je dokázáno.

Poznámka: Všimněte si, že jsme v důkazu použili náš předpoklad. To se dalo čekat. Pokud zkusíme něco dokázat a povede se nám to, aniž bychom použili předpoklad, tak nám nejspíš něco uteklo.

Všimněte si také, že definice symetrie hrála v našem důkazu dvě rozdílné role. Zda je funkce lichá či sudá se dá rozhodnout pomocí testu neboli podmínky, které teď budeme říkat P. Když jsme chtěli ukázat, že h je sudá, tak jsme museli ukázat, že je P splněna. V té chvíli byla platnost P naším cílem. Když jsme ale pracovali s f a g, tak už jsme věděli, že jsou liché, takže už jsme také věděli, že odpovídající podmínka P musí být splněna, a tudíž jsme ji mohli použít jako fakt. Proto má podmínka P v definici roli testu ve chvíli, kdy chceme rozhodnout o platnosti vlastnosti, nebo je to něco, co můžeme použít, když už víme, že je dotyčná vlastnost splněna.