Zde ukážeme, jak se dojde k důkazu následujícího tvrzení.

Nechť jsou f, g funkce definované na nějakém okolí bodu a. Jestliže jsou f a g spojité v bodě a, pak je funkce f + g také spojitá v bodě a.

Jaký typ důkazu použijeme? Na první pohled není vidět nic, proč bychom se měli bát přímého důkazu. Být spojitý je konkrétní informace, takže to může být dobrý začátek. Oproti tomu nebýt spojitý je komplikovaná informace (protože spojitost se může zkazit více různými způsoby), takže přechod k negaci nevypadá moc slibně. To naznačuje, že nepřímý důkaz či důkaz sporem nejsou dobrý nápad. Závěr tedy je, že zkusíme přímý důkaz.

Jak by se dokázalo, že f + g je spojitá v a? Prvním krokem je podívat se na definici. Zde jsou dvě možnosti. Někteří autoří nejprve rozvinou pojem limity a pak definují spojitost následovně.

Definice.
Funkce h je spojitá v bodě a právě tehdy, když se limita h v a rovná h (a).

Jsme připraveni začít důkaz. Vezměme nějaký bod a a dvě funkce f, g definované na okolí a. Budeme také předpokládat, že obě funkce jsou spojité v a, což znamená, že ona podmínka výše platí pro f a g. Potřebujeme teď ukázat, že součet f + g je funkce spojitá v a.

Co víme o limitě f + g v a? Když jsme zkoumali limitu, tak tam byla určitě i věta o tom, že limita součtu f + g v nějakém bodě je součtem limity f plus limity g v onom bodě:

lim_x→a( f + g) = lim_x→a( f ) + lim_x→a(g).

Vímě něco o těch dvou limitách napravo? Ano, předpokládali jsme, že f a g jsou spojité v a, takže máme

lim_x→a( f ) + lim_x→a(g) = f (a) + g(a).

Když to dáme dohromady, dostaneme

lim_x→a( f + g) = lim_x→a( f ) + lim_x→a(g)       [podle věty o linearitě limity]
      = f (a) + g(a)       [ze spojitosti f a g v a]
      = ( f + g)(a).

Podle podmínky z definice toto dokazuje, že je funkce f + g opravdu spojitá v a.

Všimněte si, jak byl každý krok v důkazu podepřen nějakým argumentem. Hlavní krok tu byl odůvodněn větou, která byla dokázána o limitách. To je typické, v matematice se snažíme šetřit práci tím, že využíváme již dříve udělané věci.

Jiní autoři ovšem dělají spojitost bez limity. Jejich definice pak vypadá následovně.

Definice.
Funkce h je spojitá v a, jestliže platí následující: Pro každé e > 0 existuje d > 0 takové, aby pro všechna reálná čísla x: Jestliže |x − a| < d, pak |h(x) − h(a)| < e.

Všimněte si, že jsme nepoužili tradiční epsilon a deltu. Měli jsme k tomu dobrý důvod, dává to definici jistou flexibilitu, která se později bude hodit. Ukazuje to také, že konkrétní volba písmen není důležitá, tím hlavním je význam. Co nám definice říká?

Zkusíme si symboly přeložit do významů. Když je dána jistá kvantita, tolerance, pak musíme najít, jak daleko lze od a zajít, což je specifikováno další kvantitou, aniž by se hodnoty h vzdálily příliš daleko (měřeno tolerancí) od h(a). Jinými slovy, někdo dá toleranci a my musíme přnutit hodnoty h, aby zůstaly blízko (jak určeno tolerancí) k h(a), což děláme tak, že omezujeme pohyb x od a. Evidentně je zde závislost, když nám někdo dá hodně malou toleranci pro hodnoty h, pak se dá čekat, že se také omezí svoboda pohybu x, aby hodnoty h zůstaly, kde mají být.

Teď tuto definici aplikujeme na naši situaci. Chceme dělat přímý důkaz, což znamená, že chceme ukázat, že je součet f + g spojitý v a, tedy potřebujeme ukázat pravdivost následujícího:

Pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna reálná čísla x: Jestliže |x − a| < δ, pak |( f + g)(x) − ( f + g)(a)| < ε.

To začíná obecným kvantifikátorem, abychom tedy ukázali platnost celého výroku, musíme my začít takto: Nechť ε je libovolné kladné číslo. Potřebujeme ukázat pravdivost zbytku výroku, takže musíme najít delta tak, aby zbytek platil. K tomu ovšem musíme dobře rozumět podmínce. Co se stalo? Někdo nám dal toleranci ε, nevíme kolik to je (obecný kvantifikátor), ale máme to. Potřebujeme přinutit hodnoty f + g, aby zůstaly blízko čísla ( f + g)(a), pokud zůstaneme blízko k a; my zde potřebujeme zjistit, jak velké to "blízko" je. Jaké k tomu máme nástroje? Víme, že jak f tak g jsou spojité v a.

Toto je kritický moment, potřebujeme najít nějaký přechod mezi tím, co máme, a tím, co potřebujeme, nejprve na konceptuální úrovni. Zde to vypadá docela jasné. Spojitost f a g v a znamená, že hodnoty f zůstávají blízko f (a) a hodnoty g zůstanou blízko g(a), když se s x příliš nevzdálíme od a. Intuitivně by se zdálo, že také součet hodnot bude zůstávát poblíž součtu cílových hodnot. To vypadá jako to pravé propojení, ale teď je tu ještě problém, jak to zapsat formálně, tedy jak kolem toho napsat správnou matematiku. Začneme tím, že zformalizujeme (a ověříme) náš odhad, že jsou-li f a g blízko atd., tak to funguje i pro součet. Potřebujeme se podívat na ten rozdíl v absolutní hodnotě a chvíli ho hypnotizovat, myslet na to, že v něm nějak chceme uvidět individuální informaci o f a g, a dříve či později by se nám mělo v hlavě vylíhout následující:

|( f + g)(x) − ( f + g)(a)| = | f (x) + g(x) − f (a) − g(a)|
= |[ f (x) − f (a)] + [g(x) − g(a)]|.

To vypadá slibně. Existuje nějaký způsob, jak zcela oddělit část s f od části s g? Ano, takzvaná trojúhelníková nerovnost je přesně to, co zde potřebujeme.

|( f + g)(x) − ( f + g)(a)| ≤ | f (x) − f (a)| + |g(x) − g(a)|.     (*)

Tohle je choulostivý okamžik, protože nerovnost vždy funguje jen v jednom směru. Mámě štěstí a je tohle ten pravý směr pro nás? Podle našeho předpokladu umíme udělat hodnoty f blízké k f (a) a podobně pro g, umíme tedy dělat ty dva výrazy napravo malé, nerovnost pak přinutí výraz nalevo, aby byl malý. Ano, na této úrovni to zdá se funguje, což je další známka toho, že jsme na správné stopě. Teď je čas to udělat opravdu. Potřebujeme zajistit, aby výraz nalevo byl menší než ε, což je nějaké číslo, které neznáme, ale je to konkrétní číslo, které nám někdo dal. Víme, že máme moc nad výrazy napravo. S trochou přemýšlení nás napadne tento skvělý nápad: Pokud zařídíme, aby byl každý z výrazů napravo menší než ε/2, pak jsme v zásadě hotovi. To omezování napravo děláme tím, že omezíme pohyb x na blízké sousedství a, což je stejně něco, co se od nás očekává, to nebude problém. Asi jsme připraveni napsat formální důkaz.

Důkaz: Nechť ε je libovolné kladné číslo.

1a. Protože je f spojitá v a (jeden z našich základních předpokladů), je podmínka z definice spojitosti splněna pro toto f a a. Můžeme ji tedy aplikovat s tolerancí e = ε/2 a dostaneme jisté d_f > 0 takové, že všechna x splňující |x − a| < d_f také splňují | f (x) − f (a)| < ε/2.

1b. Protože je g spojitá v a (jeden z našich základních předpokladů), je podmínka z definice spojitosti splněna pro toto g a a. Můžeme ji tedy aplikovat s tolerancí e = ε/2 a dostaneme jisté d_g > 0 takové, že všechna x splňující |x − a| < d_g také splňují |g(x) − g(a)| < ε/2.

Mezihra: Aby bylá levá strana v (*) malá, musí být oba výrazy napravo malé. To znamená, že je třeba aplikovat obě omezení na x odvozená v krocích 1a. a 1b. zároveň. Vzdálenost, o kterou je dovoleno x se pohnout, se tedy musí vybrat takovým způsobem, aby se pak x nepohlo dále, než jsou ta dvě d výše, neboli si z těchto dvou omezení musíme vybrat menší.

2. Definujeme δ = min(d_f,d_g). Pak δ > 0 a tvrdíme, že toto delta splňuje podmínku z definice spojitosti.

Ukážeme to. Vezměme proto libovolné x takové, že |x − a| < δ. Podle definice delty to znamená, že pak také |x − a| < δ ≤ d_f, proto podle 1a platí | f (x) − f (a)| < ε/2. Podobně |x − a| < δ ≤ d_g, proto podle 1b platí | g(x) − g(a)| < ε/2. Z toho plyne, že

|( f + g)(x) − ( f + g)(a)| ≤ | f (x) − f (a)| + |g(x) − g(a)| < ε/2 + ε/2 = ε,

přesně jak jsme potřebovali. Důkaz je hotov.

Tento druhý důkaz byl mnohem obtížnější než ten první. To ale neznamená, že lidé, kteří to dělají prvním způsobem, to mají lehčí. I oni se musí pustit do špinavé práce s nerovnostmi a epsilony, ale dělají to ve chvíli, kdy dokazují větu o linearitě limity. Takže se tomu ve skutečnosti nedá vyhnout, ale zdá se rozumnější s tím začít u limity, protože tam to stejně potřebujeme a když s tím začneme, pak dostaneme pěkný důkaz pro spojitost, jak jsme jej viděli výše.